el circulo trigonométrico es un círculo de radio 1 representado en el plano cartesiano. En él, el eje horizontal es el eje del coseno y el eje vertical es el eje del seno. También se le puede llamar ciclo trigonométrico.
Se utiliza para realizar el estudio de razones trigonométricas. Con él, es posible comprender mejor las principales razones trigonométricas de anglos mayor de 180º, a saber: el seno, el coseno y la tangente.
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Paso a paso para construir el círculo trigonométrico
Para construir el círculo trigonométrico, usamos dos ejes, uno vertical y otro horizontal, como un plano cartesiano. El eje horizontal se conoce como eje coseno, y el eje vertical se conoce como eje sinusoidal.
Con la construcción de los ejes, dibujemos la gráfica de un círculo que tiene radio 1.
Relaciones trigonométricas en el círculo
Usamos el círculo para encontrar el valor de seno, coseno y tangente, según el valor del ángulo. tener en eje vertical el valor del seno y en el eje horizontal el valor del coseno, al determinar un ángulo en el círculo trigonométrico, es posible encontrar el valor de seno y coseno analizando el coordenadas del punto donde el segmento de línea conecta el centro del círculo y la circunferencia, representado por P en la imagen a seguir. Si dibujamos la recta tangente al círculo en el punto (1.0), también podemos calcular la tangente de este ángulo analíticamente según la imagen:
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Radianes del círculo trigonométrico
Sabemos que un arco se puede medir usando dos unidades de medida diferentes: la medida en grados y la medida en radianes. Lo sabemos la circunferencia es de 360º y que la longitud de tu arco es 2π:
Cuadrantes del círculo trigonométrico
Ya sea en radianes o grados, es posible definir el cuadrante en el que se ubica un arco dado según su medida.
Analizando el ciclo, tenemos que:
primer cuadrante: ángulos que están entre 0 y 90 ° o 0 y π / 2 radianes;
segundo cuadrante: ángulos que están entre 90º y 180º o π / 2 y π radianes;
tercer cuadrante: ángulos que están entre 180 ° y 270 ° o π y 3 π / 2 radianes;
cuarto cuadrante: ángulos que están entre 270 ° y 360 ° o 3π / 2 y 2π radianes.
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Ángulos notables en el círculo trigonométrico
Al comienzo del estudio de trigonometría, aprendimos que los ángulos notables son los ángulos de 30º, 45º y 60º, que tienen el valor del seno, coseno y tangente conocidos. Sin embargo, debido a la simetría del ciclo trigonométrico, es posible encontrar los valores de seno y coseno para estos ángulos y los ángulos simétricos a él en cada uno de los cuadrantes.
Signos de círculo trigonométrico
Para comprender cuál es el signo de cada una de las razones trigonométricas del ciclo, basta con analizar los valores de los ejes en el plano cartesiano.
Empecemos por el coseno. Dado que es el eje horizontal, el coseno de los ángulos incluidos a la derecha del eje vertical es positivo y el coseno de los ángulos incluidos a la izquierda del eje vertical es negativo.
Ahora, para entender el signo del seno de un ángulo, recuerde que el eje vertical es el eje del seno, por lo que el seno de un ángulo que está por encima del eje horizontal es positivo; pero si el ángulo está por debajo del eje horizontal, el seno de este ángulo es negativo, como se muestra en la siguiente imagen:
Lo sabemos la tangente es la relación entre el seno y el coseno, luego, para encontrar el signo de la tangente para cada uno de los cuadrantes, jugamos el juego de signos, que hace que la tangente sea positiva en los cuadrantes impares y negativa en los cuadrantes pares:
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simetría en el círculo
Analizando el ciclo trigonométrico, es posible construir una forma de reducir el seno, el coseno y la tangente al primer cuadrante. Esta reducción significa encontrar en el primer cuadrante un ángulo que sea simétrico a un ángulo de los otros cuadrantes, porque, cuando trabajamos con un ángulo simétrico, el valor de las razones trigonométricas es el mismo, cambiando solo su señal.
Reducción de un ángulo que está en el 2do cuadrante al 1er cuadrante
Partiendo de los ángulos que se encuentran en el 2do cuadrante, tenemos que:
Como sabemos, en el primer y segundo cuadrante, el seno es positivo. Entonces, para calcular la reducción del seno del segundo cuadrante al primer cuadrante, usamos la fórmula:
sin x = sin (180º - x)
El coseno y la tangente en el segundo cuadrante son negativos. Para reducir el coseno del 2do cuadrante al 1er cuadrante, usamos la fórmula:
cosx = - cos (180º - x)
tg x = - tg (180º - x)
Ejemplo:
¿Cuál es el valor del seno y el coseno de un ángulo de 120 °?
El ángulo de 120 ° es un segundo ángulo de cuadrante, ya que está entre 90 ° y 180 °. Para reducir este ángulo al 1er cuadrante, calculamos:
sin 120 ° = sin (180 ° - 120 °)
sin 120º = sin 60º
El ángulo de 60 ° es un ángulo notable, por lo que se conoce su valor sinusoidal, por lo que:
Ahora calculemos su coseno:
cos 120º = - cos (180 - 120)
cos 120º = - cos 60º
Como conocemos el coseno de 60º, tenemos que:
Reducción de un ángulo que está en el 3er cuadrante al 1er cuadrante
Como en el segundo cuadrante, hay simetría entre los ángulos del tercer cuadrante y los ángulos del primer cuadrante.
El seno y el coseno del tercer cuadrante son negativos. Entonces, para reducir el seno y el coseno del 3er cuadrante al 1er cuadrante, usamos la fórmula:
sin x = - sin (x - 180º)
cosx = - cos (x - 180º)
La tangente en el tercer cuadrante es positiva. Para reducirlo utilizamos la fórmula:
tg x = tg (x - 180º)
Ejemplo:
Calcula el seno, el coseno y la tangente de 225º.
sin 225º = - sin (225º - 180º)
sin 225º = - sin 45º
Como 45º es un ángulo notable, al consultar la mesa tenemos que:
Ahora, calculando el coseno, tenemos que:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
Sabemos que tg45º = 1, entonces:
tg 225º = 1
Reducción de un ángulo que está en el cuarto cuadrante al primer cuadrante
Con el mismo razonamiento que las reducciones anteriores, existe una simetría entre el 4º y 1º cuadrante:
Los valores de seno y tangente en el cuarto cuadrante son negativos. Entonces, para hacer la reducción del 4 ° al 1 ° cuadrante, usamos la fórmula:
sin x = - sin (360º - x)
tg x = - tg (360º - x)
El coseno en el cuarto cuadrante es positivo. Entonces, para reducir al primer cuadrante, la fórmula es:
cos x = cos (360º - x)
Ejemplo:
Calcula el valor de seno y coseno de 330º.
Empezando por el seno:
Ahora calculando el coseno:
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Ejercicios resueltos de círculos trigonométricos
Pregunta 1 - Durante el estudio del momento circular, un físico analizó un objeto que giraba sobre sí mismo formando un ángulo de 15.240º. Analizando este ángulo, el arco que forma se encuentra en:
A) cuadrante I.
B) cuadrante II.
C) cuadrante III.
D) cuadrante IV.
E) encima de uno de los ejes.
Resolución
Alternativa B.
Sabemos que cada 360 ° este objeto ha completado un círculo alrededor de sí mismo. Al realizar el división de 15.240 por 360, encontraremos cuántos giros completos ha dado este objeto sobre sí mismo, pero nuestro principal interés está en el resto, que representa el ángulo en el que se detuvo.
15.240: 360 = 42,333…
El resultado muestra que hizo 42 vueltas sobre sí mismo, pero 360 · 42 = 15.120, por lo que dejó un ángulo de:
15.240 – 15.120 = 120º
Sabemos que 120 ° es un segundo ángulo de cuadrante.
Pregunta 2 - Juzgue las siguientes afirmaciones:
I → Al calcular tg 140º, el valor será negativo.
II → El ángulo de 200 ° es un ángulo del segundo cuadrante.
III → Sen 130º = sen 50º.
Marque la alternativa correcta:
A) Solo yo es falso.
B) Solo II es falso.
C) Solo III es falso.
D) Todos son verdaderos.
Resolución
Alternativa B.
I → Verdadero, ya que el ángulo de 140º pertenece al 2º cuadrante, en el que la tangente es siempre negativa.
II → Falso, ya que el ángulo de 200 ° es un ángulo del 3er cuadrante.
III → Verdadero, porque para reducir un ángulo del segundo al primer cuadrante, simplemente calcule la diferencia de 180 ° - x, luego:
sin 130 ° = sin (180 ° - 130 °)
pecado 130 = pecado 50
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm
