Division de polinomios tiene diferentes métodos de resolución. Presentaremos tres métodos para esta división: el método de Descartes (coeficientes por determinar), el método clave y el dispositivo práctico de Briot-Ruffini.
Lea mas: Ecuación polinomial: forma y como resolver
división polinomial
Al dividir un polinomio P (x) por un polinomio distinto de cero D (x), donde el grado de P es mayor que D (PAG > D), significa que debemos encontrar un polinomio Q (x) y R (x), de modo que:
Tenga en cuenta que este proceso es equivalente a escribir:
P (x) → dividendo
D (x) → divisor
Q (x) → cociente
R (x) → resto
De las propiedades del potenciación, tenemos que El grado del cociente es igual a la diferencia entre los grados del dividendo y del divisor.
Q = P - D
Además, cuando el resto de la división entre P (x) y D (x) es igual a cero, decimos que P (x) es divisible por D (x).
Reglas de división polinomial
Método de coeficientes por determinar - método de descartes
Para realizar la división entre polinomios P (x) y D (x), con grado de P mayor que grado de D, seguimos los pasos:
Paso 1 - Determinar el grado del polinomio del cociente Q (x);
Paso 2 - Tome tanto grado como sea posible para el resto de la división R (X) (Recuerde: R (x) = 0 o R < D);
Paso 3 - Escribir los polinomios Q y R con coeficientes literales, de modo que P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
Ejemplo
Sabiendo que P (x) = 4x3 - X2 + 2 y que D (x) = x2 + 1, determina el polinomio del cociente y el resto.
El grado del cociente es 1 porque:
Q =P - D
Q =3 – 2
Q = 1
Entonces, en el polinomio Q (x) = a · x + b, el resto R (x) es un polinomio cuyo grado más alto puede ser 1, por lo tanto: R (x) = c · x + d. Reemplazando los datos en la condición del paso 3, tenemos:
Comparando los coeficientes de los polinomios, tenemos:
Por tanto, el polinomio Q (x) = 4x-1 y R (x) = -4x + 3.
método ctengo
Consiste en realizar la división entre polinomios siguiendo la misma idea de dividir dos números, la llamada algoritmo de división. Vea el siguiente ejemplo.
De nuevo, consideremos los polinomios P (x) = 4x3 - X2 + 2 y D (x) = x2 +1, y ahora los dividiremos usando el método clave.
Paso 1 - Completar el polinomio del dividendo con coeficientes nulos, si es necesario.
P (x) = 4x3 - X2 + 0x + 2
Paso 2 - Dividir el primer término del dividendo por el primer término del divisor y luego multiplicar el cociente por cada divisor. Vea:
Paso 3 - Divida el resto del paso 2 por el cociente y repita este proceso hasta que el grado del resto sea menor que el grado del cociente.
Por tanto, Q (x) = 4x-1 y R (x) = -4x +3.
También acceda a: Suma, resta y multiplicación de polinomios
El dispositivo práctico de BriotRuffini
usado para dividir polinomios por binomios.
Consideremos los polinomios: P (x) = 4x3 + 3 y D (x) = 2x + 1.
Este método consiste en dibujar dos segmentos, uno horizontal y otro vertical, y sobre estos segmentos ponemos el coeficiente del dividendo y la raíz del polinomio divisor, además, se repite el primero coeficiente. Vea:
Tenga en cuenta que la media más pequeña es la raíz del divisor y que el primer coeficiente se ha dividido.
Ahora, debemos multiplicar la raíz del divisor por el término repetido y sumarlo al siguiente, ver:
El último número encontrado en el dispositivo práctico es el resto, y el resto son los coeficientes del polinomio del cociente. Debemos dividir estos números por el primer coeficiente del divisor, en este caso por 2. Así:
Para obtener más información sobre este método de dividir polinomios, vaya a: división de polinomios utilizando el dispositivo de Briot-Ruffini.
ejercicios resueltos
Pregunta 1 (UFMG) El polinomio P (x) = 3x5 - 3 veces4 -2x3 + mx2 es divisible por D (x) = 3x2 - 2x. El valor de m es:
Solución
Dado que el polinomio P es divisible por D, entonces podemos aplicar el algoritmo de división. Así,
Como se dio que los polinomios son divisibles, el resto es igual a cero. Pronto,
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao-de-polinomios.htm
