progresión arimética es una secuencia numérica en la que la diferencia entre un término y su predecesor siempre resulta en el mismo valor, llamada razón. Por ejemplo, considere la siguiente secuencia:
(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...)
Veamos qué sucede con la resta de cualquier término por parte de sus predecesores:
20 – 18 = 2
18 – 16 = 2
16 – 14 = 2
14 – 12 = 2
.
.
.
4 – 2 = 2
Entonces podemos decir que el razón (r) de esta secuencia numérica es 2. Considere la siguiente secuencia numérica:
(La1, a2, a3, a4, …, Lan-1, aNo,...)
Esta secuencia numérica se puede clasificar como Progresión aritmética (AP) si para cualquier elemento de la secuencia se cumple:
LaNo = eln-1 + r, siendo que r y el razón de la AP
Una progresión aritmética se puede clasificar como:
PA ascendente
Un PA se llama ascendente si cada término de la secuencia es más grande que el término anterior. Esto siempre sucede cuando el la razón es mayor que cero. Ejemplos:
(1, 2, 3, 4, 5, 6,…) → r = 1
(-20, -10, 0, 10, 20, 30, ...) → r = 10
PA constante
Un PA se considera constante si cada término de la secuencia es igual al término anterior o posterior. Esto siempre sucede cuando el la relación es igual a cero. Ejemplos:
(1, 1, 1, 1, 1, 1,…) → r = 0
(30, 30, 30, 30, 30, 30, ...) → r = 0
PA descendente
Decimos que un PA está disminuyendo si cada término de la secuencia es menor que el término anterior. Esto siempre sucede cuando el la proporción es menor que cero. Ejemplos:
(-5, -6, -7, -8, -9, -10, -11,…) → r = -1
(15, 10, 5, 0, -5, -10, ...) → r = -5
Dada cualquier progresión aritmética, conociendo el primer término de la secuencia y el motivo de la progresión, pudimos identificar cualquier otro elemento de esta PA. Tenga en cuenta que un término restado de su predecesor siempre resulta en razón. En un PA, podemos escribir Noigualdades que siguen este patrón, lo que permite el ensamblaje de un sistema de ecuaciones. Añadiendo el (n - 1) ecuaciones lado a lado, tendremos:
La2 – La1 = r
La3 - a2 = r
La4 - a3 = r
La5 - a4 = r
.
.
.
LaNo - an-1 = r
LaNo - a1 = (n - 1) .r
LaNo = el1 + (n - 1) .r
Esta fórmula se llama Término general de una PA ya través de él podemos identificar cualquier término de una progresión aritmética.
Si deseamos identificar el Suma de los términos de un PA finito, podemos observar que, en cualquier progresión aritmética finita, la suma del primer y último término es igual a la suma del segundo término y el penúltimo término, y así sucesivamente. Veamos un esquema a continuación para ilustrar este hecho. sNorepresenta la suma de términos.
sNo = el1 + el2 + el3 +… + Eln-2 + eln-1 + elNo,
La1 + elNo= el2 + eln-1 = el3 + eln-2
Al sumar cada par de términos, siempre encontramos el mismo valor. Podemos concluir que el valor de sNo será el producto de esta suma por la cantidad de elementos que tiene el PA, dividido por dos, ya que vamos sumando los elementos "dos por dos". Entonces nos quedamos con la siguiente fórmula:
sNo = (La1 + elNo).norte
2
Por Amanda Gonçalves
Licenciada en Matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-progressao-aritmetica.htm