La motivación para el estudio de operaciones entre conjuntos proviene de la facilidad que aportan para resolver problemas numéricos cotidianos. Usaremos algunas herramientas gráficas, como el diagrama de Venn-Euler, para definir las operaciones principales entre dos o más conjuntos, a saber: unión de conjuntos, intersección de conjuntos, diferencia de conjuntos y conjunto complementario.
unión de conjuntos
La unión entre dos o más conjuntos será un nuevo conjunto formado por elementos que pertenezcan al menos a uno de los conjuntos en cuestión. Formalmente, el conjunto de unión viene dado por:
Sean A y B dos conjuntos, la unión entre ellos está formada por elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B.
En otras palabras, solo únete a los elementos de A con los de B.
Ejemplo:
a) Considere los conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} y B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
b) A = {x | x es un número par natural} y B {y | y es un número impar natural}
La unión de todos los pares naturales y todas las probabilidades naturales da como resultado el conjunto completo de números naturales, por lo que tenemos que:
Intersección de conjuntos
La intersección entre dos o más conjuntos también será un nuevo conjunto formado por elementos que pertenecen, al mismo tiempo, a todos los conjuntos implicados. Formalmente tenemos:
Sean A y B dos conjuntos, la intersección entre ellos está formada por elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. Por lo tanto, debemos considerar solo los elementos que se encuentran en ambos conjuntos.
Ejemplo
a) Considere los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} y C = {0, –1, –2, –3 }
A ∩ B = {2, 4, 6}
A ∩ C = {}
B ∩ C = {0}
El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacio y se puede representar de dos formas.
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diferencia de conjuntos
La diferencia entre dos conjuntos, A y B, está dada por los elementos que pertenecen a A y No pertenecen a B.
En el diagrama de Venn-Euler, la diferencia entre los conjuntos A y B es:
Ejemplo
Considere los conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} y C = {}. Determinamos las siguientes diferencias.
A - B = {5}
A - C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C - A = {}
Tenga en cuenta que, en el conjunto A - B, inicialmente tomamos el conjunto A y "sacamos" los elementos del conjunto B. En el conjunto A - C, tomamos la A y “sacamos” el vacío, es decir, ningún elemento. Finalmente, en C - A, tomamos el conjunto vacío y “sacamos” los elementos de A, que, a su vez, ya no estaban allí.
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Conjuntos complementarios
Considere los conjuntos A y B, donde el conjunto A está contenido en el conjunto B, es decir, cada elemento de A es también un elemento de B. La diferencia entre los conjuntos, B - A, se denomina complemento de A con respecto a B. En otras palabras, el complementario está formado por todo elemento que no pertenezca al conjunto A en relación al conjunto B, en el que está contenido.
Ejemplo
Considere los conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
El complemento de A en relación con B es:
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Considere los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {d, e, f, g, h, i}. Determine (A - B) U (B - A).
Solución
Inicialmente determinaremos los conjuntos A - B y B - A y luego realizaremos la unión entre ellos.
A - B = {a, b, c, d, e, f} - {d, e, f, g, h, i}
A - B = {a, b, c}
B - A = {d, e, f, g, h, i} - {a, b, c, d, e, f}
B - A = {g, h, i}
Por lo tanto, (A - B) U (B - A) es:
{a, b, c} U {g, h, i}
{a, b, c, g, h, i}
Pregunta 2 - (Vunesp) Suponga que A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} y A - B = {a, b, c}, entonces:
a) B = {f, g, h}
b) B = {d, e, f, g, h}
c) B = {}
d) B = {d, e}
e) B = {a, b, c, d, e}
Solución
Alternativa b.
Organizando los elementos en el diagrama de Venn-Euler, según el enunciado, tenemos:
Por lo tanto, el conjunto B = {d, e, f, g, h}.
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm