Las ecuaciones trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas de arcos desconocidos. Resolver estas ecuaciones es un proceso único que utiliza técnicas de reducción a ecuaciones más simples. Cubramos los conceptos y definiciones de ecuaciones en la forma cosx = a.
Las ecuaciones trigonométricas en la forma cosx = α tienen soluciones en el intervalo –1 ≤ x ≤ 1. La determinación de los valores de x que satisfagan este tipo de ecuación obedecerá a la siguiente propiedad: Si dos arcos tienen cosenos iguales, entonces son congruentes o complementarios..
Sea x = α una solución de la ecuación cos x = α. Las otras posibles soluciones son los arcos congruentes con el arco α o con el arco - α (o con el arco 2π - α). Entonces: cos x = cos α. Tenga en cuenta la representación en el ciclo trigonométrico:
Concluimos que:
x = α + 2kπ, con k Є Z o x = - α + 2kπ, con k Є Z
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación: cos x = √2 / 2.
De la tabla de razones trigonométricas, que2 / 2 corresponde a un ángulo de 45º. Luego:
cos x = √2 / 2 → cos x = π / 4 (π / 4 = 180º / 4 = 45º)
Así, la ecuación cosx = √2 / 2 tiene como solución todos los arcos congruentes con el arco π / 4 o –π / 4 o incluso 2π - π / 4 = 7π / 4. Note la ilustración:
Concluimos que las posibles soluciones de la ecuación cos x = √2 / 2 son:
x = π / 4 + 2kπ, con k Є Z o x = - π / 4 + 2kπ, con k Є Z
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación: cos 3x = cos x
Cuando los arcos 3x y x son congruentes:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Cuando los arcos 3x y x son complementarios:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ / 4
x = kπ / 2
La solución de la ecuación cos 3x = cos x es {x Є R / x = kπ o x = kπ / 2, con k Є Z}.
por Mark Noah
Licenciada en Matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm