O triángulo equilátero es un tipo especial de triángulo. Por esta razón, todas las propiedades que se aplican a los triángulos son válidas para él, pero este tipo también tiene propiedades especificas.
Cuando uno polígono tiene solo tres lados, se conoce como triángulo. Esta forma geométrica se puede clasificar al comparar sus lados. Entonces un triangulo puede ser escaleno, cuando todos los lados son diferentes;isósceles, cuando dos lados son congruentes; y equilátero, cuando los tres lados son congruentes.
El triángulo equilátero tiene características específicas debido a sus medidas iguales. Incluso hay fórmulas para calcular el área y el perímetro que son eficientes solo para triángulos equiláteros
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Propiedades del triángulo equilátero
Un triángulo se conoce como equilátero cuando tiene la medida de los tres lados congruentes, así, en consecuencia, la tu anglos internos también son congruentes
. Dado que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre igual a 180º y los ángulos son iguales, cuando dividimos 180º entre 3, llegaremos a ángulos de 60º. Los ángulos internos del triángulo equilátero, por lo tanto, siempre miden 60 °.
Debido a estas características, el triángulo equilátero tiene propiedades específicas. si rastreamos la altura del triángulo equilátero, también será bisectriz (segmento de recta que divide el ángulo en dos partes congruentes) y promedio (línea recta que conecta el vértice con el punto medio del lado opuesto).
Al dividir el triángulo como se hizo en la imagen anterior, la altura del triángulo se puede escribir en función del lado, lo cual se puede demostrar por ambos trigonometría cuanto por Teorema de pitágoras.
La fórmula para calcular la altura de un triángulo equilátero es:
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→ 1ra demostración:
En el teorema de Pitágoras, se muestra que existe una relación entre los lados de un triángulo rectángulo. La suma del cuadrado de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado. La hipotenusa es el lado más grande opuesto al ángulo de 90 ° (en nuestro caso, el lado que mide allí), y las piernas son los otros dos lados. Entonces, tenemos que:
→ 2da demostración:
Vale la pena recordar dos hechos importantes sobre la trigonometría. Uno de ellos es el seno de un ángulo y el otro es el valor del seno de 60 °.
El seno de cualquier ángulo viene dado por la relación entre el lado opuesto y la hipotenusa del triángulo rectángulo:
También vale la pena recordar el ángulos notables, que son los ángulos de 30º, 45º y 60º. En este caso usaremos el ángulo de 60º, por lo que es importante señalar que:
Esto permite demostrar que la altura solo depende de h. Vea:
Independientemente del tipo de demostración, puede ver que la altura (h) depende solo del valor del lado a calcular.
Perímetro del triángulo equilátero
El perímetro es la suma de todos los lados de un polígono. Como el triángulo equilátero es un polígono regular, o sea, tiene los tres lados congruentes, el cálculo de tu perímetro es muy sencillo, solo depende de la medida en el lateral allí de un triángulo equilátero. Como tiene los tres lados con la misma medida, tenemos que:
P = 3allí
Ejemplo 1:
Calcula el perímetro del triángulo equilátero cuyo lado mide 9 cm.
Resolución:
P = 3allí
P = 3,9 = 27 cm
Ejemplo 2:
Para cercar una parcela de tierra con 5 bucles de alambre, se necesitaron 450 metros de alambre. Sabiendo que el terreno tiene forma de triángulo equilátero, ¿cuál es la medida de cada uno de sus lados?
Resolución:
Tenemos como dados 5 veces el perímetro y queremos encontrar el valor de los lados.
Por tanto, tenemos que:
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área del triángulo equilátero
Entendemos eso área de un triángulo cualquiera es dado por multiplicación de la base por la altura dividida por dos, pero el triángulo equilátero tiene una fórmula especial para él, que es la siguiente:
→ Demostración de fórmulas:
El área de cualquier triángulo está dada por:
Ejercicios resueltos
Pregunta 1 - ¿Son el área y la altura de un triángulo equilátero que tiene un perímetro de 15 cm, respectivamente (pista: use √3 = 1.7)?
a) 15 y 225
b) 5 y 11.3
c) 10,5 y 21
d) 4.25 y 10.625
e) 8.5 y 22.5
Resolución
- 1er paso: encuentra el valor en el lateral allí.
Si el perímetro es de 15 cm, significa que 3allí es igual a 15, por lo que el lado del triángulo mide 5 cm.
- 2do paso: calcular la altura.
- 3er paso: calcular el área.
Letra D.
Pregunta 2 - Un triángulo equilátero tiene lados que miden y, 2x + 3 y 4x - 2, por lo que los valores de xey son, respectivamente:
a) 5 y 16
b) 16 y 5
c) 4 y 2
d) 8 y 2,5
e) 2.5 y 8
Resolución:
Un triángulo equilátero tiene lados congruentes, entonces:
Primero, hagamos coincidir los lados que tienen la misma incógnita:
Conociendo el valor de x, elegimos cualquier lado que tenga esta incógnita y lo establecemos en y.
Letra e.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/o-triangulo-equilatero-seus-elementos.htm