Resolver sistemaslineal es una tarea muy recurrente para los estudios en los campos de las ciencias naturales y las matemáticas. La búsqueda de valores desconocidos llevó al desarrollo de métodos para resolver sistemas lineales, como el método de adición, igualdad y sustitución para sistemas que tienen dos ecuaciones y dos incógnitasy la regla y escala de Crammer, que resuelven sistemas lineales de dos ecuaciones, pero que son más convenientes para sistemas con más ecuaciones. Un sistema lineal es un conjunto de dos o más ecuaciones con una o más incógnitas.
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ecuación lineal
El trabajo con ecuaciones existe debido a la Necesito encontrar valores desconocidos desconocidos. La llamamos ecuación cuando tenemos una expresión algebraica con igualdad, y se clasifica como lineal cuando el mayor exponente de sus incógnitas es 1, como se muestra en los siguientes ejemplos:
2x + y = 7 → ecuación lineal con dos incógnitas
a + 4 = -3 → ecuación lineal con una incógnita
En términos generales, una ecuación lineal se puede describir mediante:
La1X1 + el2X2 + a3x3... + aNoXNo = c
Conocemos como sistema de ecuaciones cuando hay más de una ecuación lineal. Comenzaremos con sistemas lineales de dos incógnitas.
Resolver sistemas lineales
Sistemas lineales con dos ecuaciones de primer grado y dos incógnitas
Para resolver un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas, hay varias métodos, los tres más conocidos son:
- método de comparación
- método de adición
- método de sustitución
Cualquiera de los tres puede resolver un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas. Estos metodos no son tan eficientes para sistemas con más ecuaciones, ya que existen otros métodos específicos para resolverlos.
Método de reemplazo
El método de reemplazo consiste en aislar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y Realice la sustitución en la otra ecuación.
Ejemplo:
1er paso: aislar una de las incógnitas.
Llamamos I la primera ecuación y II la segunda ecuación. Analizando los dos, vamos elija lo desconocido que sea más fácil de aislar. Tenga en cuenta que en el ecuación I → x + 2y = 5, x no tiene coeficiente, lo que hace que sea más fácil de aislar, así que reescribiremos la ecuación Me gusta esto:
Yo → x + 2y = 5
Yo → x = 5 - 2y
2do paso: reemplazar I en II.
Ahora que tenemos la ecuación I con x solo, en la ecuación II, podemos reemplazar x con 5 - 2y.
II → 3x - 5y = 4
Reemplazando x por 5 - 2y:
3 (5 - 2 años) - 5 años = 4
Ahora que la ecuación tiene solo una incógnita, es posible resolverla para encontrar el valor de y.
Conociendo el valor de y, encontraremos el valor de x reemplazando el valor de y en la ecuación I.
Yo → x = 5 - 2y
x = 5 - 2 · 1
x = 5 - 2
x = 3
Entonces, la solución del sistema es S = {3,1}.
Método de comparación
El método de comparación consiste en aislar una incógnita en las dos ecuaciones e igualar estos valores.
Ejemplo:
1er paso: Sea yo la primera ecuación y II la segunda, aislemos una de las incógnitas en I y II. Al elegir aislar la x desconocida, tenemos que:
2do paso: equiparar las dos nuevas ecuaciones, ya que x = x.
3er paso: reemplace el valor de y por -2 en una de las ecuaciones.
x = -4 - 3 años
x = -4 - 3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2
Entonces, la solución de este sistema es el conjunto S = {2, -2}.
Vea también: ¿Cuáles son las diferencias entre función y ecuación?
método de adición
El método de la suma consiste en realizar la multiplicación de todos los términos de una de las ecuaciones, de tal forma que, cuando sumando la ecuación I a la ecuación II, una de sus incógnitas es igual a cero.
Ejemplo:
1er paso: multiplica una de las ecuaciones para que los coeficientes sean opuestos.
Tenga en cuenta que si multiplicamos la ecuación II por 2, tenemos 4y en la ecuación II y -4y en la ecuación I, y eso por sumamos I + II, obtenemos 0y, así que multipliquemos todos los términos en la ecuación II por 2 para que este suceder.
I → 5x - 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
2do paso: realizar la suma I + 2 · II.
3er paso: Reemplaza el valor de x = 3 en una de las ecuaciones.
Sistemas lineales con tres ecuaciones de primer grado y tres incógnitas
Cuando el sistema tiene tres incógnitas, adoptamos otros métodos de resolución. Todos estos métodos relacionan los coeficientes con las matrices, y los métodos más utilizados son la regla o escala de Crammer. Para la resolución en ambos métodos es necesaria la representación matricial del sistema, incluso el sistema 2x2 se puede representar mediante una matriz. Hay dos representaciones posibles, la matriz completa y la matriz incompleta:
Ejemplo:
El sistema
Puede ser representado por matriz completa
Y para matriz incompleta
Regla de Crammer
Para encontrar soluciones para un sistema 3x3, con incógnitas x, y y z, usando el Regla de Crammer, es necesario calcular el determinante de la matriz incompleta y sus variaciones. Entonces tenemos que:
D → determinante de la matriz incompleta del sistema.
DX → determinante de la matriz incompleta del sistema, reemplazando la columna de x por la columna de términos independientes.
Dy → determinante de la matriz incompleta del sistema, reemplazando la columna de y por la columna de términos independientes.
Dz → determinante de la matriz incompleta del sistema, reemplazando la columna de z por la columna de términos independientes.
Entonces, para encontrar el valor de sus incógnitas, primero necesitamos calcular el determinante D, DX, Dy asociado con el sistema.
Ejemplo:
1er paso: calcular D.
2do paso: calcular DX.
3er paso: entonces podemos encontrar el valor de x, porque:
4to paso: calcular Dy.
5to paso: entonces podemos calcular el valor de y:
6to paso: ahora que conocemos el valor de xey, en cualquier línea podemos encontrar el valor de z sustituyendo el valor de xey y aislando z. Otra opción es calcular Dz.
Sustituyendo x = 0 e y = 2 en la primera ecuación:
2x + y - z = 3
2 · 0 + 2 - z = 3
0 + 2 - z = 3
-z = 3 - 2
-z = -1 (-1)
z = -1
Por tanto, la solución del sistema es la licitación (0,2, -1).
También acceda a: Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones
escalada
Otro método para resolver sistemas lineales es el escalado, en el que solo usamos la matriz completa y las operaciones entre líneas para aislar sus incógnitas. Escalemos el sistema a continuación.
1er paso: escribe la matriz completa que representa el sistema.
ser L1, L2 y yo3 respectivamente las líneas 1, 2 y 3 de la matriz, realizaremos operaciones entre L1 y yo2 y yo1 y yo3, de modo que el resultado haga que los términos que están en la primera columna de la segunda y tercera fila sean iguales a cero.
Analizando la segunda línea de la matriz, la reemplazamos con el resultado de L2 → -2 · L1 + L2, para poner a cero el término a21.
La21 = -2 · 1 + 2 = 0
La22 = -2 · 2 + 1 = -3
La23 = -2 · (-3) + 1 = 7
La24 =-2 · 10 + 3 = -17
Entonces la L2 será 0-3 7-17.
Analizando la tercera fila de la matriz, la reemplazamos con el resultado de L3 → 3L1 + L2, para restablecer el término a31.
La31 = 3 · 1 – 3 = 0
La32 = 3 · 2 + 2 = 8
La33 = 3 · (-3) +1 = -8
La34 = 3 · 10 – 6 = 24
Entonces la L3 será 0 8 -8 24.
Tenga en cuenta que todos son divisibles por 8, de modo que la línea L3 Mantenlo simple, dividámoslo entre 8.
L3 → L3 : 8 será: 0 1-1 3.
Entonces, la nueva matriz de la ecuación escalada será:
Ahora el objetivo es restablecer la columna y en la tercera fila, realizaremos operaciones entre L2 y yo3, con el objetivo de resetear la segunda columna de uno de ellos.
Reemplazaremos L3 con L3 → L2 + 3L3.
La31 = 0 + 3 · 0 = 0
La32 = -3 + 3 · 1 = 0
La33 = 7 + 3 · (-1) = 4
La34 = -17 + 3 · 3 = -8
Entonces L3 será: 0 0 4-8.
La nueva matriz escalada será:
Ahora, cuando representemos esta matriz como un sistema nuevamente, agregando x, y y z a las columnas, encontraremos lo siguiente:
Entonces podemos encontrar el valor de cada una de las incógnitas. Analizando la ecuación III, tenemos que:
Si z = -2, sustituyamos el valor de z en la segunda ecuación:
Finalmente, en la primera ecuación, sustituyamos el valor de y y z para encontrar el valor de x.
Vea también: Sistema de desigualdades de primer grado: ¿cómo resolverlo?
clasificación del sistema lineal
Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales, que pueden tener varias incógnitas y varias ecuaciones. Existen varios métodos para resolverlo, independientemente del número de ecuaciones. hay tres calificaciones para un sistema lineal.
- Sistema posible determinado (SPD): cuando tienes una única solución.
- Sistema posible indeterminado (SPI): cuando tiene infinitas soluciones.
- sistema imposible(SI): cuando no hay solución.
ejercicios resueltos
Pregunta 1 (IFG 2019) Considere la suma de las medidas de una base y la altura relativa a esa base de un triángulo igual a 168 cm y la diferencia igual a 24 cm. Es correcto afirmar que las medidas de la base y la altura relativa a esta base miden, respectivamente:
a) 72 cm y 96 cm
b) 144 cm y 24 cm
c) 96 cm y 72 cm
d) 24 cm y 144 cm
Resolución
Alternativa C.
Dejemos que h → altura yb → base, entonces tenemos el siguiente sistema:
Por el método de la suma, tenemos que:
Para encontrar el valor de h, sustituyamos b = 96 cm en la primera ecuación:
b + h = 168
96 + h = 168
h = 168 - 96
h = 72 cm
Pregunta 2 La matriz incompleta que representa el siguiente sistema lineal es:
Resolución
Alternativa C.
La matriz incompleta es aquella que tiene los coeficientes de x, y y z, por lo que será una matriz de 3x3. Analizando las alternativas, la que contiene la matriz 3x3 con los signos correctos es la letra C.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm
