LA combinación simple es una de las agrupaciones estudiadas en análisis combinatorio. Conocemos como combinación el recuento de todos los subconjuntos de k elementos que podemos formar a partir de un conjunto de No elementos.
Es bastante común ver situaciones en las que usamos la combinación, por ejemplo, para calcular todos los resultados posible en juegos de lotería o juegos de póquer, y en otras situaciones, como en el estudio de probabilidad y estadística.
Otro agrupamiento muy común es el arreglo. Lo que diferencia la disposición de la combinación es el hecho de que, en la disposición, el orden de los elementos es importante y, en combinación, el orden no es importante. Por lo tanto, comparamos la combinación con la elección de subconjuntos.
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¿Qué es una combinación simple?
En el análisis combinatorio se estudia el número de posibles conglomerados. Entre estos agrupamientos, existe lo que se conoce como combinación simple. La simple combinación no es más que la
recuento de todos los subconjuntos con k elementos de un conjunto dado, por ejemplo: la megassena, en la que se extraen 6 números al azar.En este caso, puede ver que el orden en el que se eligieron estos 6 números no hace ninguna diferencia, es decir, el orden no importa, lo que hace que este resultado sea un subconjunto. Esta característica es fundamental para entender qué es una combinación y diferenciarla de las demás agrupaciones; en la combinación, el orden de los elementos del conjunto no importa.
fórmula de combinación simple
Los problemas de combinación se calculan mediante una fórmula. la combinación de No elementos tomados de k en k é:
n → elementos totales en el conjunto
k → elementos totales en subconjunto
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¿Cómo calcular una combinación?
En primer lugar, es importante saber cuando un problema es una combinación. Para ilustrarlo, encuentre todas las combinaciones posibles de colocar {A, B, C, D} con dos elementos:
Listando combinaciones con dos elementos, son: {A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D} y {C, D}. En este caso, es posible ver que existen 6 combinaciones posibles, y también vale la pena señalar que los subconjuntos {A, B} y {B, A} son iguales, porque en la combinación el orden no es importante .
Resulta que no siempre es posible enumerar todas las combinaciones posibles o incluso no es necesario, ya que el mayor interés está en la cantidad de combinaciones y no en el listado de cada uno de ellos. Para ello, es muy práctico utilizar la fórmula.
Ejemplo:
Una escuela sorteará tres boletos, uno para cada estudiante, entre los 10 primeros en las olimpiadas de matemáticas. Después de completar la prueba y conocer los 10 primeros lugares, calcula las posibles combinaciones para el resultado del sorteo.
Tenga en cuenta que, en el resultado del sorteo, el orden no es importante, por lo que estamos trabajando con un problema de combinación.
Luego calcularemos la combinación de 10 elementos tomados de 3 de 3. Sustituyendo en la fórmula, tenemos que:
Ahora realicemos la simplificación de los factoriales. En este punto, es fundamental dominar el cálculo de la factorial de un número. ¡Como 10! es mayor que cualquiera de los factoriales en el denominador y, mirando el denominador, ¡7! es el más grande, hagamos la multiplicación de 10 por sus antecesores hasta llegar a 7!, para que se pueda simplificar.
Triángulo de Pascal
Uno de los instrumentos más utilizados en el análisis combinatorio, principalmente para calcular un Binomio de Newton, es el triángulo de Pascal. Este triangulo es construido a partir de los resultados de las combinaciones, otra forma de representar la combinación de dos números es la siguiente:
El triángulo de Pascal comienza en la fila 0 y la columna 0, combinando 0 elementos tomados de 0 a 0. Las líneas son las mismas que No, y las columnas iguales a k, formando la siguiente figura:
Sustituyendo los valores que resultan de las combinaciones:
A través de las filas y columnas del triángulo de Pascal, podemos encontrar el valor de la combinación que queremos. Si es necesario, podemos encontrar los términos de tantas líneas como sea necesario. Para obtener más información sobre este método de resolución, lea el texto: Triángulo de Pascal.
Diferencia entre arreglo y combinación
La disposición y la combinación son dos agrupaciones igualmente importantes que se estudian en el análisis combinatorio. Es fundamental conocer la diferencia entre cada uno de estos grupos, es decir, si los vamos a calcular por un arreglo o uno combinación.
Resulta que en el combinación, al ensamblar los racimos, el orden de los elementos del conjunto no es importante., es decir {A, B} = {B, A}, pero hay casos en los que el orden es importante en la agrupación, en este caso estamos trabajando con una matriz.
En el arreglo, luego, el orden de los elementos es diferente, es decir, {A, B} ≠ {B, A}, un ejemplo de un arreglo muy común sería calcular de cuántas formas diferentes podemos formar el podio de una competencia dada entre 10 personas. Tenga en cuenta que en este ejemplo, el orden es importante, lo que hace que se pueda resolver mediante la fórmula de disposición. Además de la definición teórica, las fórmulas son diferentes y la fórmula de arreglo é:
Ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (Enem) Doce equipos se inscribieron para un torneo de fútbol amateur. El juego de apertura del torneo se eligió de la siguiente manera: primero, se sortearon 4 equipos para formar el Grupo A. Luego, entre los equipos del Grupo A, se sortearon 2 equipos para jugar el partido inaugural del torneo, el primero de los cuales jugaría en su propio campo y el segundo sería el equipo visitante. El número total de selecciones posibles para el Grupo A y el número total de selecciones para los equipos en el juego de apertura se pueden calcular usando
A) una combinación y un arreglo, respectivamente.
B) un arreglo y una combinación, respectivamente.
C) una disposición y una permutación, respectivamente.
D) dos combinaciones.
E) dos arreglos.
Resolución
Alternativa A
Para diferenciar la disposición y la combinación, es necesario analizar si el orden importa en la agrupación o no. Nótese que, en la primera agrupación, el orden es irrelevante, ya que el Grupo A está formado por los 4 equipos sorteados independientemente del orden, es decir, hay, primero, una combinación.
Analizando la segunda agrupación, es posible ver que el orden importa en ella, ya que el primer equipo que se dibujará tendrá el comando de campo, lo que hace de esta agrupación una disposición.
De esta forma, el pedido es una combinación y un arreglo.
Pregunta 2 - Una familia compuesta por 7 adultos, luego de decidir el itinerario de su viaje, consultó el sitio web de una aerolínea y encontró que el vuelo para la fecha elegida estaba casi lleno. En la figura, disponible en el sitio web, los asientos ocupados están marcados con una X y los únicos asientos disponibles son en blanco.
El número de formas diferentes de acomodar a la familia en este vuelo se calcula mediante:
Resolución
Alternativa B. Al analizar la situación, tenga en cuenta que el orden, es decir, qué miembro de la familia se sentará en qué silla, no es relevante. Lo que importa son los 7 sillones elegidos por la familia. Entonces estamos trabajando con una combinación. Hay 9 plazas libres y se elegirán 7. así que calculemos la combinación de 9 a 7. Sustituyendo en la fórmula, tenemos que:
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/combinacao-simples.htm
