LA sede se utiliza comúnmente para organizar datos tabulares para facilitar la resolución de problemas. La información de la matriz, ya sea numérica o no, está ordenada en filas y columnas.
El conjunto de matrices equipado con las operaciones de adición, sustracción y multiplicación y las características, como elemento neutral e inverso, forman una estructura matemática que permite su aplicación en diversos campos de esta gran área de conocimiento.
vea también: Relación entre sistemas matriciales y lineales
Representación matricial
Antes de iniciar los estudios sobre matrices, es necesario establecer algunas notaciones con respecto a sus representaciones. A las matrices siempre se representan con letras mayúsculas. (A, B, C…), que van acompañadas de índices, en los que las el primer número indica el número de filas y el segundo, el número de columnas.
LA número de líneas (filas horizontales) y columnas (filas verticales) de una matriz determina su pedido. La matriz A tiene orden m por n. La información contenida en una matriz se llama
elementos y están organizados entre paréntesis, corchetes o dos barras verticales, vea los ejemplos:
La matriz A tiene dos filas y tres columnas, por lo que su orden es de dos por tres → A2x3.
La matriz B tiene una fila y cuatro columnas, por lo que su orden es de uno por cuatro, por lo que se llama matriz de línea → B1x4.
La matriz C tiene tres filas y una columna, por lo que se llama matriz de columna y su orden es de tres por uno → C3x1.
Podemos representar genéricamente los elementos de una matriz, es decir, podemos escribir este elemento usando una representación matemática. OEl elemento genérico estará representado por letras minúsculas. (a, b, c…) y, como en la representación de matrices, también tiene un índice que indica su ubicación. El primer número indica la fila en la que se encuentra el elemento y el segundo número indica la columna en la que se encuentra.
Considere la siguiente matriz A, enumeraremos sus elementos.
Observando el primer elemento que se ubica en la primera fila y primera columna, es decir, en la fila uno y la columna uno, tenemos el número 4. Para facilitar la escritura, lo denotaremos por:
La11 → línea un elemento, columna uno
Entonces tenemos los siguientes elementos de la matriz A2x3:
La11 = 4
La12 =16
La13 = 25
La21 = 81
La22 = 100
La23 = 9
En general, podemos escribir una matriz en función de sus elementos genéricos, esta es la matriz genérica.
Una matriz de m filas yn columnas está representada por:
Ejemplo
Determine la matriz A = [aij ]2x2, que tiene la siguiente ley de formación paraij = j2 - 2i. De los datos del enunciado, tenemos que la matriz A es de orden dos por dos, es decir, tiene dos líneas y dos columnas, por lo tanto:
Además, se dio la ley de formación de matrices, es decir, cada elemento se satisface con la relación conij = j2 - 2i. Sustituyendo los valores de i y j en la fórmula, tenemos:
La11 = (1)2 - 2(1) = -1
La12 = (2)2 - 2(1) = 2
La21 = (1)2 - 2(2) = -3
La22 = (2)2 - 2(2) = 0
Por tanto, la matriz A es:
Tipos de matrices
Algunas matrices merecen especial atención, vea ahora estas tipos de matrices con ejemplos.
matriz cuadrada
Una matriz es cuadrada cuando el número de filas es igual al número de columnas. Representamos la matriz que tiene n filas yn columnas por ANo (lee: matriz cuadrada de orden n).
En matrices cuadradas, tenemos dos elementos muy importantes, el diagonales: principal y secundaria. La diagonal principal está formada por elementos que tienen índices iguales, es decir, es cada elemento unij con i = j. La diagonal secundaria está formada por elementos aij con i + j = n +1, donde n es el orden de la matriz.
matriz de identidad
La matriz identidad es una matriz cuadrada que tiene todasustedelementos de la diagonal principal igual a 1 y los otros elementos igual a 0, su ley de formación es:
Denotamos esta matriz por I, donde n es el orden de la matriz cuadrada, vea algunos ejemplos:
matriz unitaria
Es una matriz cuadrada de orden uno, es decir, tiene fila y columna y, por tanto, solo un elemento.
A = [-1]1x1, B = yo1 = (1)1x1 y C = || 5 ||1x1
Estos son ejemplos de matrices unitarias, con énfasis en la matriz B, que es una matriz de identidad unitaria.
matriz nula
Se dice que una matriz es nula si todos sus elementos son iguales a cero. Representamos una matriz nula de orden m por n por Omxn.
La matriz O es nula de orden 4.
matriz opuesta
Considere dos matrices de igual orden: A = [aij]mxn y B = [bij]mxn. Estas matrices se denominarán opuestas si, y solo si, elij = -bij. De ese modo, los elementos correspondientes deben ser números opuestos.
Podemos representar la matriz B = -A.
matriz transpuesta
Dos matrices A = [aij]mxn y B = [bij]nxm ellos son transpuesto si, y solo si, elij = bJi , es decir, dada una matriz A, para encontrar su transposición, simplemente tome las líneas como columnas.
La transpuesta de la matriz A se denota por AT. Vea el ejemplo:
Vea mas: Matriz inversa: que es y como verificar
Operaciones matriciales
El conjunto de matrices tiene las operaciones de unsuma y multiplicación muy bien definidas, es decir, siempre que operamos dos o más matrices, el resultado de la operación sigue perteneciendo al conjunto de matrices. Sin embargo, ¿qué pasa con la operación de resta? Entendemos esta operación como la inversa de la suma (matriz opuesta), que también está muy bien definida.
Antes de definir las operaciones, entendamos las ideas de elemento correspondiente y igualdad de matrices. Los elementos correspondientes son aquellos que ocupan la misma posición en diferentes matrices, es decir, están ubicados en la misma fila y columna. Obviamente, las matrices deben ser del mismo orden para que existan elementos coincidentes. Vea:
Los elementos 14 y -14 son elementos correspondientes de matrices opuestas A y B, ya que ocupan la misma posición (misma fila y columna).
Se dirá que dos matrices son iguales si y solo si los elementos correspondientes son iguales. Así, dadas las matrices A = [aij]mxn y B = [bij]mxn, estos serán los mismos si, y solo si, elij = bij para cualquier i j.
Ejemplo
Sabiendo que las matrices A y B son iguales, determine los valores de x y t.
Dado que las matrices A y B son iguales, entonces los elementos correspondientes deben ser iguales, por lo tanto:
x = -1 y t = 1
Suma y resta de matrices
Las operaciones de suma y resta entre matrices son bastante intuitivos, pero primero se debe cumplir una condición. Para realizar estas operaciones, primero es necesario verificar que el los órdenes de matriz son iguales.
Una vez verificada esta condición, se realiza la suma y resta de la matriz sumando o restando los elementos correspondientes de las matrices. Considere las matrices A = [aij]mxn y B = [bij]mxn, luego:
A + B = [aij + bij] mxn
A - B = [aij - Bij] mxn
Ejemplo
Considere las matrices A y B a continuación, determine A + B y A - B.
Leer tambien: Operaciones de números enteros
Multiplicación de un número real por matriz
La multiplicación de un número real en una matriz (también conocida como multiplicación de matrices) por un escalar se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz por el escalar.
Sea A = [aij]mxn una matriz yt un número real, entonces:
t · A = [t · aij]mxn
Vea el ejemplo:
Multiplicación de matrices
La multiplicación de matrices no es tan trivial como la suma y resta de matrices. Antes de realizar la multiplicación, también se debe cumplir una condición con respecto al orden de las matrices. Considere las matrices Amxn y Bnxr.
Para realizar la multiplicación, el el número de columnas en la primera matriz debe ser igual al número de filas en la segunda. La matriz del producto (que proviene de la multiplicación) tiene un orden dado por el número de filas en la primera y la cantidad de columnas en la segunda.
Para realizar la multiplicación entre las matrices A y B, debemos multiplicar cada una de las filas por todas las columnas de la siguiente manera: el primer elemento de A se multiplica por el primer elemento de B y luego se suma al segundo elemento de A y se multiplica por el segundo elemento de B, y así sucesivamente. Vea el ejemplo:
Leer tambien: Teorema de Laplace: saber cómo y cuándo usar
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (U. Y. Londrina - PR) Sean las matrices A y B, respectivamente, 3 x 4 y p x q, y si la matriz A · B tiene orden 3 x 5, entonces es cierto que:
a) p = 5 y q = 5
b) p = 4 y q = 5
c) p = 3 y q = 5
d) p = 3 y q = 4
e) p = 3 y q = 3
Solución
Tenemos la declaración de que:
LA3x4 · Bpxq = C3x5
De la condición para multiplicar dos matrices, tenemos que el producto solo existe si el número de columnas en la primera es igual al número de filas en la segunda, entonces p = 4. Y también sabemos que la matriz del producto está dada por el número de filas en la primera con el número de columnas en la segunda, entonces q = 5.
Por tanto, p = 4 y q = 5.
A: Alternativa b
Pregunta 2 - (Vunesp) Determine los valores de x, y, y z, en la siguiente igualdad, involucrando 2 x 2 matrices reales.
Solución
Realicemos las operaciones entre las matrices y luego la igualdad entre ellas.
Para determinar el valor de x, y y z, resolveremos el sistema lineal. Inicialmente, agreguemos las ecuaciones (1) y (2).
2x - 4 = 0
2x = 4
x = 2
Sustituyendo el valor de x encontrado en la ecuación (3), tenemos:
22 = 2z
2z = 4
z = 2
Y finalmente, sustituyendo los valores de xyz encontrados en la ecuación (1) o (2), tenemos:
x + y - z = 0
2 + y - 2 = 0
y = 0
Por tanto, la solución al problema viene dada por S = {(2, 0, 2)}.
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
