A expresiones algebraicas son esas expresiones matemáticas que tener números y letras, también conocidas como variables. Usamos letras para representar valores desconocidos o incluso para analizar el comportamiento de la expresión según el valor de esta variable. Las expresiones algebraicas son bastante comunes en el estudio de ecuaciones y en la redacción de fórmulas en Matemáticas y campos relacionados.
Si la expresión algebraica tiene un solo término algebraico, se conoce como monomio; cuando tiene más de uno, se llama polinomio. También es posible calcular operaciones algebraicas, que son las operaciones entre expresiones algebraicas.
Lea también: Fracciones algebraicas: expresiones que presentan al menos una incógnita en el denominador.
¿Qué es una expresión algebraica?
Definimos como expresión algebraica a expresión que contiene letras y números, separados por operaciones matemáticas básicas, como suma y multiplicación. Las expresiones algebraicas son de gran importancia para el estudio más avanzado de las Matemáticas, posibilitando el cálculo de valores desconocidos en ecuaciones o incluso el estudio de funciones. Veamos algunos ejemplos de expresiones algebraicas:
a) 2x²b + 4ay² + 2
b) 5m³n8
c) x² + 2x - 3
Las expresiones algebraicas reciben nombres particulares dependiendo de cuántos términos algebraicos tengan.
monomios
Una expresión algebraica se conoce como monomio cuando tiene solo un término algebraico. Un término algebraico es aquel que tiene letras y números separados solo por una multiplicación entre ellos.
Un monomio se divide en dos partes: o coeficiente, que es el número que multiplica la letra, y el parte literal, que es la variable con su exponente.
Ejemplos de:
a) 2x³ → coeficiente es igual a 2 y la parte literal es igual a x³.
b) 4ab → coeficiente es igual a 4 y la parte literal es igual a ab.
c) m²n → coeficiente es igual a 1 y la parte literal es igual a m²n.
Cuando las partes literales de dos monomios son iguales, se conocen como monomios similares.
Ejemplos de:
a) 2x³ y 4x³ son similares.
b) 3ab² y -7ab² son similares.
c) 2mn y 3mn² No son similares.
d) 5 años y 5 veces No son similares.
Vea también: Suma y resta de fracciones algebraicas: ¿cómo calcular?
Polinomios
Cuando la expresión algebraica tiene muchos términos algebraicos, se conoce como polinomio. Un polinomio no es más que el suma o diferencia entre monomios. Es bastante común usar polinomios en el estudio de ecuaciones y funciones, o en el geometría analítica, para describir las ecuaciones de elementos de geometría.
Ejemplos de:
a) 2x² + 2x + 3
b) 2ab - 4ab² + 2a - 4b + 1
c) 5mn - 3
d) 4y² + x³ - 4x + 8
Simplificación de expresiones algebraicas
En una expresión algebraica, cuando hay términos similares, es posible simplificar esta expresión. a través de operaciones con los coeficientes de términos similares.
Ejemplo:
5xy² + 10x - 3xy + 4x²y - 2x²y² + 5x - 3xy + 9xy² - 4x²y + y
Para simplificar, identifiquemos términos similares, es decir, términos que tienen la misma parte literal.
5xy²+ 10 veces- 3xy+ 4x²y - 2x²y² + 5 veces- 3xy+ 9xy² – 5x²y
Realizaremos las operaciones entre términos similares, luego:
5xy² + 9xy² = 14xy²
10x + 5x = 15x
-3xy - 3xy = -6xy
4x²y -5x²y = -1x²y = -x²y
El término -2x²y² no tiene un término similar, por lo que la expresión algebraica simplificada será:
-2x²y² + 14xy² + 15x - 6xy -x²y
operaciones algebraicas
Sumar o restar expresiones algebraicas no es más que simplificar la expresión, por lo que solo es posible operar con términos algebraicos que son similares. Sin embargo, en la multiplicación es necesario utilizar la propiedad distributiva entre los términos, como se muestra en los siguientes ejemplos:
Ejemplo de adición:
(2x² + 3xy - 5) + (3x² - xy + 2)
Como es una adición, simplemente podemos quitar el paréntesis, sin cambiar ninguno de los términos:
2x² + 3xy - 5 + 3x² - xy + 2
Ahora simplifiquemos la expresión:
5x² + 2xy - 3
Ejemplo de resta:
(2x² + 3xy - 5) - (3x² - xy + 2)
Para quitar el paréntesis, es necesario invertir el signo de cada término algebraico en la segunda expresión:
2x² + 3xy - 5 –3x² + xy - 2
Ahora simplifiquemos la expresión:
- x² + 4xy - 7
Ejemplo de multiplicación:
(2x² + 3xy - 5) (3x² - xy + 2)
Aplicando la propiedad distributiva, encontraremos:
6 veces4 - 2x³y + 4x² + 9x³y - 3x²y² + 6xy - 15x² - 5xy + 10
Ahora simplifiquemos la expresión:
6 veces4 + 7x³y - 11x² –3x²y² + xy + 10
También acceda a: ¿Cómo simplificar fracciones algebraicas?
Valor numérico de expresiones algebraicas
Cuando conocemos el valor de la variable de una expresión algebraica, es posible encontrar su valor numérico. El valor numérico de la expresión algebraica no es más que el resultado final cuando reemplazamos la variable con un valor.
Ejemplo:
Dada la expresión x³ + 4x² + 3x - 5, ¿cuál es el valor numérico de la expresión cuando x = 2?
Para calcular el valor de la expresión, reemplacemos x por 2.
2³ + 4 · 2² + 3 · 2 – 5
8 + 4 · 4 + 6 – 5
8 + 16 + 6 – 5
30 – 5
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ejercicios resueltos
Pregunta 1 - La expresión algebraica que representa el perímetro del siguiente rectángulo es:
A) 5x - 5
B) 10 veces - 10
C) 5 veces + 5
D) 8x - 6
E) 3x - 2
Resolución
Alternativa B.
Para calcular el perímetro, sumemos los cuatro lados. Sabiendo que los lados paralelos son iguales, tenemos que:
P = 2 (2x - 4) + 2 (3x - 1)
P = 4x - 8 + 6x - 2
P = 10x - 10
Pregunta 2 - (Enem 2012) Un forro de tela rectangular tiene en su etiqueta la información de que se encogerá después del primer lavado, manteniendo, sin embargo, su forma. La siguiente figura muestra las medidas originales del techo y el tamaño de contracción (x) en longitud e (y) en ancho. La expresión algebraica que representa el área del techo después de ser lavado es (5 - x) (3 - y).
En estas condiciones, el área perdida del forro, después del primer lavado, se expresará por:
A) 2xy
B) 15 - 3 veces
C) 15 - 5 años
D) -5y - 3x
E) 5y + 3x - xy
Resolución
Alternativa E.
Para calcular el área de un rectángulo, calculamos el área encontrando el producto entre la base y la altura del rectángulo. Analizando la parte faltante del techo, es posible dividirla en dos rectángulos, pero hay una región que pertenece a los dos rectángulos, por lo que tendremos que restar el área de esta región.
El rectángulo más grande tiene base 5 y altura y, por lo que su área está dada por 5y. El otro triángulo tiene base x y altura 3, por lo que su área está dada por 3x. La región que pertenece a los dos rectángulos simultáneamente tiene base xy altura y, así que como se cuenta en los dos rectángulos, restemos de la suma de las áreas. Así, el área perdida viene dada por la expresión algebraica:
5y + 3x - xy
Por Raul Rodrigues Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/expressao-algebrica.htm