O máximo común divisor (MDC), entre dos o más números, es un número que los divide a todos y además es el mayor número posible.
Podemos determinar el MCD encontrando todos los divisores de cada número y luego encontrando el máximo común divisor entre ellos.
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Sin embargo, una forma práctica de calcular MDC es a partir de la descomposición en factores primos. En este caso, el MCD viene dado por el producto de los factores comunes del exponente más bajo.
Para obtener más información sobre este tema, consulte un lista de ejercicios del máximo común divisor (MCD) con resolucion
Lista de ejercicios del máximo común divisor (MCD)
Pregunta 1. Encuentra todos los divisores de 8 y 12 y determina el MCD entre ellos.
Pregunta 2. Encuentra todos los divisores de 6 y 9 y 15 y determina el MCD entre ellos.
Pregunta 3. Descompone los números 18 y 21 en factores primos y calcula el MCD entre ellos.
Pregunta 4. Descompone los números 72, 81 y 126 en factores primos y calcula el MCD entre ellos.
Pregunta 5. ¿Cuál es el número más grande por el que podemos dividir simultáneamente los números 48 y 98?
Pregunta 6. Un maestro tiene 16 metros de cinta azul y 24 metros de cinta roja. Quiere cortarlos en pedazos del mismo tamaño pero tan largos como sea posible.
¿Qué tan grande será cada cinta y cuántas cintas azules y rojas obtendrá?
Pregunta 7. Un comerciante quiere colocar 5200 tomates y 3400 papas en cajas de manera que cada caja tenga la misma cantidad y sea lo más grande posible.
Determine la cantidad de tomates y papas en cada caja y la cantidad de cajas necesarias.
pregunta 8 Un productor de jugo entero tiene tres sucursales y quiere transportar las botellas producido, por día, en cada uno de ellos, en camiones que transportan la misma cantidad y que es la mayor posible.
Si las producciones diarias son de 240, 300 y 360 botellas, ¿cuántas botellas debe llevar cada camión? ¿Cuántos camiones por sucursal?
Resolución de la pregunta 1
Divisores de cada número:
re(8) = {1, 2, 4, 8}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Divisores comunes: 1, 2 y 4
máximo común divisor: 4
MCD(8,12) = 4
Resolución de la pregunta 2
Divisores de cada número:
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(9) = {1, 3, 9}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Divisores comunes: 1, 2, 3
máximo común divisor: 3
MCD(6, 9, 15) = 3
Resolución de la pregunta 3
Descomposición en factores primos de 18:
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 ⇒ 18 = 2. 3. 3
Descomposición en factores primos de 21:
21 | 3
7 | 7
1 ⇒ 21 = 3. 7
Entonces 18 y 21 solo tienen un factor en común: 3
Entonces MCD(18, 21) = 3.
Resolución de la pregunta 4
Descomposición en factores primos de 72:
72 | 2
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 ⇒ 72 = 2. 2. 2. 3. 3
Descomposición en factores primos de 81:
81 | 3
27 | 3
9 | 3
3 | 3
1 ⇒ 81 = 3. 3. 3. 3
Descomposición en factores primos de 126:
126 | 2
63 | 3
21 | 3
7 | 7
1 ⇒ 126 = 2. 3. 3. 7
CDM(72, 81, 126) = 3. 3 = 9
Resolución de la pregunta 5
El número más grande por el que podemos dividir 48 y 98 simultáneamente es el MCD entre ellos.
Descomposición en factores primos de 48:
48 | 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 48 = 2. 2. 2. 2. 3
Descomposición en factores primos de 98:
98 | 2
49 | 7
7 | 7
1 ⇒ 98 = 2. 7. 7
MCD(48, 98) = 2
Entonces, el número más grande por el que podemos dividir los números 48 y 98 es el número 2.
Resolución de la pregunta 6
La mayor longitud posible, igual entre las cintas azul y roja, es el MDC entre 16 y 24.
Descomposición en factores primos de 16:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2
Descomposición en factores primos de 24:
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
MCD(16, 24) = 2. 2. 2 = 8
Por lo tanto, cada trozo de cinta debe tener 8 metros de largo.
16: 8 = 2 ⇒ serán 2 cintas azules.
24: 8 = 3 ⇒ serán 3 cintas rojas.
Resolución de la pregunta 7
La mayor cantidad en cada caja, lo mismo para tomates y papas, es el MDC entre 5200 y 3400.
Descomposición en factores primos de 5200:
5200 | 2
2600 | 2
1300 | 2
650 | 2
325 | 5
65 | 5
13 | 13
1 ⇒ 5200 = 2. 2. 2. 2. 5. 5. 13
Descomposición en factores primos de 3400:
3400 | 2
1700 | 2
850 | 2
425 | 5
85 | 5
17 |17
1 ⇒ 5200 = 2. 2. 2. 5. 5. 17
MDC(5200, 3400) = 2. 2. 2. 5. 5 = 200
Por lo tanto, cada caja debe tener 200 tomates o papas.
5200: 200 = 26 ⇒ son 26 cajas de tomates.
3400: 200 = 17 ⇒ son 17 cajas de patatas.
En total, necesitarás 26 + 17 = 43 cajas.
Resolución de la pregunta 8
El mayor número de botellas transportadas en cada camión, lo mismo para las tres sucursales, es el MDC entre 240, 300 y 360.
Descomposición en factores primos de 240:
240 | 2
120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 ⇒ 240 = 2. 2. 2. 2. 3. 5
Descomposición en factores primos de 300:
300 | 2
150 | 2
75 | 3
25 | 5
5 | 5
1 ⇒ 300 = 2. 2. 3. 5. 5
Descomposición en factores primos de 360:
360 | 2
180 | 2
90 | 2
45 | 3
15 | 3
5 | 5
1 ⇒ 360 = 2. 2. 2. 3. 3. 5
MDC(240, 300, 360) = 2. 2. 3. 5 = 60
Por lo tanto, cada camión debe transportar 60 botellas de jugo.
240: 60 = 4 ⇒ habrá 4 camiones para la sucursal que produce 240 botellas.
300: 60 = 5 ⇒ habrá 5 camiones para la sucursal que produce 300 botellas.
360: 60 = 6 ⇒ habrá 6 camiones para la sucursal que produce 360 botellas.
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