En el estudio de números complejos nos encontramos con la siguiente igualdad: i2 = – 1.
La justificación de esta igualdad generalmente se asocia con la resolución de ecuaciones de segundo grado con raíces cuadradas negativas, lo cual es un error. El origen de la expresión i2 = - 1 aparece en la definición de números complejos, otro tema que también suscita muchas dudas. Entendamos la razón de tal igualdad y cómo surge.
Primero, hagamos algunas definiciones.
1. Un par ordenado de números reales (x, y) se llama número complejo.
2. Números complejos (x1y1) y (x2y2) son iguales si y solo si x1 = x2 y y1 = y2.
3. La suma y la multiplicación de números complejos se definen por:
(X1y1) + (x2y2) = (x1 + x2y1 + y2)
(X1y1)*(X2y2) = (x1*X2 - y1* y2, X1* y2 + y1*X2)
Ejemplo 1. Considere z1 = (3, 4) yz2 = (2, 5), calcula z1 + z2 yz1* z2.
Solución:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1* z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Usando la tercera definición, es fácil demostrar que:
(X1, 0) + (x
(X1, 0) * (x2, 0) = (x1*X2, 0)
Estas igualdades muestran que con respecto a las operaciones de suma y multiplicación, los números complejos (x, y) se comportan como números reales. En este contexto, podemos establecer la siguiente relación: (x, 0) = x.
Usando esta relación y el símbolo i para representar el número complejo (0, 1), podemos escribir cualquier número complejo (x, y) de la siguiente manera:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy → que es la forma normal de llamar a un número complejo.
Por tanto, el número complejo (3, 4) en forma normal se convierte en 3 + 4i.
Ejemplo 2. Escribe los siguientes números complejos en forma normal.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (- 7, 11) = - 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Ahora observe que llamamos i el número complejo (0, 1). Veamos qué pasa al hacer i2.
Sabemos que i = (0, 1) y que i2 = yo * yo. Sigue eso:
I2 = yo * yo = (0, 1) * (0, 1)
Usando la definición 3, tendremos:
I2 = yo * yo = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Como vimos anteriormente, todo número complejo de la forma (x, 0) = x. Así,
I2 = yo * yo = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Llegamos a la famosa igualdad i2 = – 1.
No pares ahora... Hay más después de la publicidad;)
Por Marcelo Rigonatto
Especialista en Estadística y Modelización Matemática
Equipo Escolar de Brasil
Números complejos - Matemáticas - Escuela Brasil
