La ecuación algebraica de tipo polinomial se expresa de la siguiente manera:
P (x) = LaNoXNo +... + el2X2 + el1X1 + el0
o sea
P (x) = 2x5 + 4x4 + 6x3 + 7x2 + 2x + 9
Cada polinomio tiene un coeficiente y una parte literal, siendo el coeficiente el número y la parte literal la variable.
El polinomio está formado por monomios y cada monomio está formado por el producto de un número con una variable. Vea a continuación la estructura de un monomio:
Monomio
La1. X1 → el1 = coeficiente
→X1 = parte literal
Todo polinomio tiene grado, el grado de un polinomio en relación a la variable será el mayor valor del exponente referente a la parte literal. El coeficiente dominante es el valor numérico que acompaña a la parte literal de grado superior.
Para identificar el grado de una variable, podemos utilizar dos métodos:
El primero considera el grado general del polinomio y el segundo considera el grado en relación con una variable.
Para obtener el grado general del polinomio, debemos considerar que cada monomio del polinomio tiene su grado, el cual viene dado por la suma de los exponentes de los términos que componen la parte literal. Vea el ejemplo:
2xy + 1x3 + 1xy4 → Polinomio
2xy → Monomio de grado 2, ya que la variable x tiene exponente de 1 y la variable y tiene exponente de 1, al sumar los exponentes referentes a las variables, tenemos la grado de este monomio es 2.
1x3→ Monomio de grado 3, porque la variable x tiene el exponente 3.
1xy4 → Monomio de grado 5, ya que la variable x tiene grado 1 y la variable y tiene grado 4, al sumar los exponentes referentes a las variables tenemos que el grado de este monomio es 5.
O grado general del polinomio estará dado por el grado más alto de monomio, de ahí el grado del polinomio 2xy + 1x3 + 1xy4 é 5.
Para obtener el grado de un polinomio en relación con una variable, debemos considerar que el grado se obtendrá mediante el mayor exponente de la variable que se fijará. Suponga que esta variable es el término x del polinomio 2xy + 1x3 + 1xy4, tenemos que:
2xy → monomio de grado 1, ya que el grado de este término algebraico viene determinado por el exponente de la variable x.
1x3→ Monomio de grado 3, ya que el grado de este término algebraico viene determinado por el exponente de la variable x.
xy4→ Monomio de grado 1, ya que el grado de este término algebraico viene determinado por el exponente de la variable x.
el grado del polinomio 2xy + 1x3 + 1xy4é 3, ya que es el mayor grado del polinomio en relación con la variable x.
Eche un vistazo al siguiente ejemplo para comprender cómo obtenemos el grado de un polinomio a través de estos dos procedimientos:
Ejemplo 1
Dado el polinomio 5x8 + 10 años3X6 + 2xy. ¿Cuál es el grado del polinomio relacionado con la variable x y cuál es su coeficiente dominante? ¿Cuál es el grado del polinomio en relación con la variable y y cuál es su coeficiente dominante? ¿Cuál es el grado general del polinomio?
Respuesta
Primer paso:Debes encontrar el grado del polinomio relacionado con la variable X. Luego tenemos que aplicar el segundo caso para encontrar el grado del polinomio 5X8+ 10y3X6+ 2Xy.
Primero debemos considerar cada monomio por separado y evaluar el grado a través de la variable X.
5X8→ En relación a la variable x, el grado de este monomio es 8.
10 años3X6 → En relación a la variable x, el grado de este monomio es 6
2Xy → Con respecto a la variable x, el grado de este monomio es 1.
Entonces tenemos que el grado más alto del polinomio 5x8 + 10 años3X6 + 2xy, relacionado con la variable x, es 8 y su coeficiente dominante es 5.
Segundo paso: Ahora encontremos el grado del polinomio 5X8 + 10y3X6 + 2Xy, en relación a la variable y. Sigue la misma estructura que el paso anterior para la identificación, solo que ahora debemos considerarlo en relación a la variable y.
5 veces8 = 5x8y0→ Con respecto a la variable y, el grado de este monomio es 0.
10y3X6→ Con respecto a la variable y, el grado es 3.
2Xy → Con respecto a la variable y, el grado es 1.
Tenemos entonces que el grado del polinomio relacionado con la variable y es 3 y su coeficiente dominante es 10.
Tercer paso: Ahora debemos identificar el grado general del polinomio 5X8 + 10y3X6+ 2X, para esto consideramos cada monomio por separado y sumamos los exponentes referentes a la parte literal. El grado del polinomio será el grado del monomio más grande.
5X8 = 5X8y0→ 8 + 0 = 8. El grado de este monomio es 8.
10y3X6 → 3 + 6 = 9.El grado de este monomio es 9.
2xy → 1 + 1 = 2. El grado de este monomio es 2.
Entonces tenemos que el grado de este polinomio es 8.
El concepto referente al grado de un polinomio es fundamental para que entendamos qué es polinomio unitario.
Por definición, tenemos que: O polinomio unitario Ocurre cuando el coeficiente que acompaña a la parte literal de mayor grado en relación a una variable es 1. Este grado está dado por el monomio LaNoXNo, Dónde LaNo es el coeficiente dominante que siempre será igual a 1 y el grado del polinomioEs dado por XNo,que siempre será el mayor exponente del polinomio en relación a una variable.
Polinomio unitario
P (x) = 1xNo +... + el2X2 + el1X1 + el0
Siendo elNo = 1 y xNo es la parte literal que tiene el grado más alto del polinomio.
Nota En todo polinomio unitario siempre evaluamos el grado en relación con una variable.
Ejemplo 2
Identifique el grado de polinomios unitarios a continuación:
La) P (x) = x3 + 2x2 + 1 B) P (y) = 2 años6 + y5 – 16 C) P (z) = z9
Respuesta
La) P (x) = 1x3+ 2x2 + 1. El grado de este polinomio debe obtenerse en relación con la variable x. El grado más alto en relación a esta variable es 3 y su coeficiente es 1, considerado el coeficiente dominante. Por tanto, el polinomio P (x) es unitario.
B) P (y) = 2 años6 + y5 – 16. El grado de este polinomio con respecto a la variable y es 6. El coeficiente que acompaña a la parte literal referente a este grado es 2, siendo este coeficiente diferente de 1, por lo que el polinomio no se considera unitario.
C) P (z) = z9. El grado es 9 y el coeficiente en relación al grado más alto de la variable z es 1. Por tanto, este polinomio es unitario.
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/polinomio-unitario.htm