O determinante de una sede tiene varias aplicaciones actualmente. Usamos el determinante para verificar si tres puntos están alineados en el plano cartesiano, para calcular áreas de triángulos, para la resolución de sistemas lineales, entre otras aplicaciones en Matemáticas. El estudio de los determinantes no limitado a las matemáticas, hay algunas aplicaciones en física, como el estudio de campos eléctricos.
Calculamos determinantes de matrices cuadradas solamente, es decir, matrices en las que el número de columnas y el número de filas son iguales. Para calcular el determinante de una matriz, necesitamos analizar su orden, es decir, si es 1x1, 2x2, 3x3 y así sucesivamente, cuanto mayor sea su orden, más difícil será encontrar el determinante. Sin embargo, existen métodos importantes para realizar el ejercicio, como La regla de Sarrus, utilizado para calcular determinantes de matrices de 3x3.
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Determinante matricial de orden 1
Una matriz se conoce como orden 1 cuando tiene exactamente una fila y una columna. Cuando esto ocurre, la matriz tiene un solo elemento, la A11. En este caso, el determinante de la matriz coincide con su único término.
A = (a11)
det (A) = | La11 | = el11
Ejemplo:
A = [2]
det (A) = | 2 | = 2
Para calcular determinantes de matrices de orden 1, solo es necesario conocer su único elemento.
Determinantes de matrices de orden 2
La matriz cuadrada de 2x2, también conocida como matriz de orden 2, tiene cuatro elementos, en este caso, para calcular el determinante, es necesario saber cuál es el diagonal principal y el diagonal secundaria.
Para calcular el determinante de una matriz de orden 2, calculamos eldiferencia ingrese el producto de los términos de diagonal principal y los términos de diagonal secundaria. Usando el ejemplo algebraico que construimos, det (A) será:
Ejemplo:
Determinante matricial de orden 3
La matriz de orden tres es mas laborioso para obtener el determinante que los anteriores, de hecho, cuanto mayor sea el orden de una matriz, más difícil será este trabajo. En es necesario usa lo que conocemos como La regla de Sarrus.
Regla de Sarrus
La regla de Sarrus es un método para calcular determinantes de matrices de orden 3. Es necesario seguir unos pasos, siendo el primero duplicar las dos primeras columnas al final de la matriz, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ahora vamos multiplica los términos de cada una de las tres diagonales que están en la misma dirección que la diagonal principal.
Realizaremos un proceso similar con la diagonal secundaria y las otras dos diagonales que están en la misma dirección que ella.
nota los términos de la diagonal secundaria siempre van acompañados del signo menos., es decir, siempre cambiaremos el signo del resultado de multiplicar los términos diagonales secundarios.
Ejemplo:
Vea también: Teorema de Binet: proceso práctico para la multiplicación de matrices
Propiedades determinantes
1ra propiedad
Si una de las líneas de la matriz es igual a 0, entonces su determinante será igual a 0.
Ejemplo:
Segunda propiedad
Sean A y B dos matrices, det (A · B) = det (A) · det (B).
Ejemplo:
Calculando los determinantes separados, tenemos que:
det (A) = 2 · (-6) - 5 · 3
det (A) = -12 - 15 = -27
det (B) = 4 · 1 - 2 · (-2)
det (B) = 4 + 4 = +8
Entonces det (A) · det (B) = -27 · 8 = -216
Ahora calculemos det (A · B)
3ra propiedad
Sea A una matriz y A ’una nueva matriz construida intercambiando las filas de la matriz A, entonces det (A’) = -det (A), o es decir, al invertir la posición de las líneas de una matriz, su determinante tendrá el mismo valor, pero con un signo intercambiado.
Ejemplo:
Cuarta propiedad
líneas iguales o proporcional haga que el determinante de la matriz sea igual a 0.
Ejemplo:
Tenga en cuenta que en la matriz A, los términos de la fila dos son el doble de los términos de la fila uno.
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Ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (Vunesp) Considerando las matrices A y B, determine el valor de det (A · B):
a 1
b) 6
c) 10
d) 12
e) 14
Resolución
Alternativa E
Sabemos que det (A · B) = det (A) · det (B):
det (A) = 1 · 4 - 2 · 3 = 4 - 6 = -2
det (B) = -1 · 1-3 · 2 = -1 - 6 = -7
Entonces tenemos que:
det (A · B) = det (A) · det (B)
det (A · B) = -2 (-7) = 14
Pregunta 2 - Dada la matriz A, ¿cuál debe ser el valor de x para que det (A) sea igual a 0?
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/9
d) 3
e) 9
Resolución
Alternativa B
Calculando el determinante de A, tenemos que:
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes-1.htm
