Una progresión geométrica es una secuencia numérica que respeta una ley de formación. En un PG, cada término, a partir del segundo, se obtiene haciendo el producto entre el término anterior y una constante q. Esta constante q se llama razón de progresión geométrica. Interpolar medias geométricas entre dos números cualesquiera a1 y elNo medios para determinar los números reales existentes entre los1 y elNo de modo que la secuencia numérica sea una PG.
Para realizar la interpolación de medias geométricas necesitamos utilizar la fórmula del término general de PG:
Para interpolar medias geométricas, también es necesario conocer el valor de la relación PG.
Ejemplo 1. Un PG está formado por 6 términos, donde el1 = 4 y el6 = 972. Determinar las medias geométricas existentes entre los1 y el6.
Solución: Para interpolar las medias geométricas entre 4 y 972 necesitamos determinar el valor de la razón PG. Para ello, usaremos la fórmula del término general.
Sabemos que la razón de PG es 3 y que cada término, a partir del segundo, se obtiene haciendo el producto entre el término anterior y la razón. Así tendremos:
Ejemplo 2. Determina los términos que faltan en la secuencia numérica (3, _, _, _, _, _, _, _, _, 1536) para que tengamos una progresión geométrica.
Solución: Tenga en cuenta que encontrar los términos que faltan en la secuencia con los puntos finales 3 y 1536 significa interpolar medias geométricas. Por lo tanto, necesitamos determinar el valor de la relación de este PG.
De la secuencia numérica dada, sabemos que el1 = 3 y el10 = 1536 (desde 1536 ocupa la décima posición en la secuencia). Usando la fórmula del término general, tendremos:
Una vez que se conoce el valor de la razón, podemos determinar los términos que faltan en la secuencia:
Ejemplo 3. Una industria produjo 100 unidades de un producto en enero. En julio del mismo año, produjo 6400 unidades de este producto. Determine cuántas unidades se produjeron en los meses de febrero a junio, sabiendo que las cantidades producidas de enero a julio determinan un PG.
Solución: De acuerdo con el enunciado del problema, la secuencia (100, _, _, _, _, _, 6400) es un PG. Para resolver el problema, necesitamos determinar los términos que faltan en este PG o interpolar medias geométricas entre 100 y 6400. Así que necesitamos determinar el motivo de este PG, donde el1 = 100 y el7 = 6400.
Conociendo el valor de la razón, tenemos que:
Por tanto, la producción en el mes de febrero fue de 200 unidades; Marzo fue de 400 unidades; Abril fue de 800 unidades; Mayo fue de 1600 unidades; y junio fue de 3200 unidades.
Por Marcelo Rigonatto
Especialista en Estadística y Modelización Matemática
Equipo Escolar de Brasil
Progresiones - Matemáticas - Escuela Brasil
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/interpolacao-meios-geometricos.htm