LA la ecuación modular es una ecuación que, en el primer o segundo miembro, tiene términos en el módulo. El módulo, también conocido como valor absoluto, está vinculado a la distancia que tiene un número hasta cero. Como hablamos de distancia, el módulo de un número siempre es positivo. Resolver problemas de ecuaciones modulares requiere aplicar la definición de módulo, generalmente dividimos la ecuación en dos posibles casos:
cuando lo que hay dentro del módulo es positivo y
cuando lo que hay dentro del módulo es negativo.
Lea también: ¿Cuál es la diferencia entre una función y una ecuación?
un módulo de números reales
Para poder resolver problemas de ecuaciones modulares, es necesario recordar la definición del módulo. El módulo es siempre el mismo que distancia que tiene un número hasta cero, y representar el módulo de un número No, usamos la barra recta de la siguiente manera: |No|. Para calcular el |No|, lo dividimos en dos casos:
Por tanto, podemos decir que |No| es lo mismo que el propio
No cuando es un número positivo o igual a cero, y, en el segundo caso, |No| es igual al opuesto de No si es negativo. Recuerde que el opuesto de un número negativo siempre es positivo, por lo que |No| siempre tiene un resultado igual a un número positivo.Ejemplos de:
a) | 2 | = 2
b) | -1 | = - (- 1) = 1
Vea también: ¿Cómo resolver una ecuación logarítmica?
¿Cómo resolver una ecuación modular?
Para encontrar la solución de una ecuación modular, es necesario analizar cada una de las posibilidades, es decir, dividir, siempre en dos casos, cada uno de los módulos. Además de conocer la definición del módulo, para resolver ecuaciones modulares, es fundamental saber solucionar ecuaciones polinomiales.
Ejemplo 1:
| x - 3 | = 5
Para encontrar la solución a esta ecuación, es importante recordar que hay dos posibles resultados que hacen |No| = 5, esos son ellos, No = -5, ya que | -5 | = 5, y también No = 5, porque | 5 | = 5. Entonces, usando esta misma idea, tenemos que:
I → x - 3 = 5 o
II → x - 3 = -5
Resolviendo una de las ecuaciones por separado:
Resolución I:
x - 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Resolución II:
x - 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Entonces hay dos soluciones: S = {-2, 8}.
Tenga en cuenta que si x = 8, la ecuación es verdadera porque:
| x - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
También tenga en cuenta que si x = -2, la ecuación también es cierta:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Ejemplo 2:
| 2x + 3 | = 5
Como en el ejemplo 1, para encontrar la solución es necesario dividirla en dos casos, según la definición del módulo.
Yo → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
Resolución I:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Resolución II:
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Entonces colocar de soluciones es: S = {1, -4}.
Ejemplo 3:
| x + 3 | = | 2x - 1 |
Cuando tenemos la igualdad de dos módulos, necesitamos dividirlo en dos casos:
1er caso, primer y segundo miembro del mismo signo.
2º caso, primer y segundo miembro de signos opuestos.
Resolución I:
Haremos que los dos lados sean mayores que cero, es decir, simplemente eliminaremos el módulo. También podemos hacerlo con ambos negativos, pero el resultado será el mismo.
X + 3 ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
2x - 1 ≥ 0 → | 2x - 1 | = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x - 2x = -1 - 3
x = -4 (-1)
x = 4
Resolución II:
Lados de signos opuestos. Elegiremos un lado para que sea positivo y el otro para que sea negativo.
Elegir:
| x + 3 | ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
| 2x - 1 | <0 → | 2x –1 | = - (2x - 1)
Entonces, tenemos que:
x + 3 = - (2x - 1)
x + 3 = - 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
Entonces, el conjunto de soluciones es: S = {4, -2/3}.
También acceda a: ¿Qué son las ecuaciones irracionales?
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (UFJF) El número de soluciones negativas de la ecuación modular | 5x - 6 | = x² es:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Resolución
Alternativa E
Queremos resolver la ecuación modular:
| 5x - 6 | = x²
Entonces, dividámoslo en dos casos:
Resolución I:
5x - 6> 0 → | 5x - 6 | = 5x - 6
Entonces, tenemos que:
5x - 6 = x²
-x² + 5x - 6 = 0
Recuerda que el valor delta nos dice cuántas soluciones tiene la ecuación cuadrática:
a = -1
b = 5
c = -6
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Como 1 es positivo, en este caso hay dos soluciones reales.
Resolución II:
| 5x - 6 | <0 → | 5x - 6 | = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x²
- 5x + 6 = x²
- x² - 5x + 6 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Dado que Δ también es positivo en este caso, entonces hay dos soluciones reales, por lo que el total de soluciones reales es 4.
Pregunta 2 - (PUC SP) El conjunto de soluciones S de la ecuación | 2x - 1 | = x - 1 es:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Resolución
Alternativa A
Resolución I:
| 2x - 1 | = 2x - 1
Entonces, tenemos que:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
Resolución II:
| 2x - 1 | = - (2x - 1)
- (2x - 1) = x - 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm