Entre las formas de encontrar el valor numérico de x, un proceso también conocido como encontrar las raíces de una ecuación o encontrar la solución de una ecuación, destacar: Fórmula de Bhaskara es el proceso de completar cuadrados. Este último es el tema central del texto de hoy.
El número de soluciones de una ecuación viene dado por su grado. Por lo tanto, las ecuaciones de primer grado tienen solo una solución, las ecuaciones de tercer grado tienen tres soluciones y Las ecuaciones cuadráticas tienen dos soluciones, también llamadas raíces..
Las ecuaciones de segundo grado, en su forma reducida, se pueden escribir de la siguiente manera:
hacha2 + bx + c = 0
método de terminación cuadrada
En cuyo caso la ecuación cuadrática es un trinomio cuadrado perfecto
Las ecuaciones de segundo grado resultantes de un producto notable se conocen como trinomio cuadrado perfecto. Para encontrar sus raíces, usaremos el método ejemplificado a continuación:
Ejemplo: Calcula las raíces de la ecuación x2 + 6x + 9 = 0.
Tenga en cuenta que el coeficiente b es 6 = 2 · 3. Para escribirlo en forma de un producto notable, solo verifique si c = 32, lo cual es cierto, ya que 32 = 9 = c. De esta forma, podemos escribir:
X2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
Tenga en cuenta que un producto notable es el producto entre dos polinomios iguales. En el caso de esta ecuación, tendremos:
(x + 3)2 = (x + 3) (x + 3) = 0
Un producto solo es igual a cero cuando uno de sus factores es igual a cero. Por lo tanto, para (x + 3) (x + 3) = 0, es necesario que (x + 3) = 0 o (x + 3) = 0. Por lo tanto, los dos resultados iguales para la ecuación x2 + 6x + 9 = 0, que son: x = - 3 o x = - 3.
En breve: para resolver la ecuación x2 + 6x + 9 = 0, escribe:
X2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
x = - 3 o x = - 3
En cuyo caso la ecuación cuadrática no es un trinomio cuadrado perfecto
Una ecuación del segundo en la que el coeficiente by el coeficiente c no cumplen las relaciones establecidas anteriormente no es un trinomio cuadrado perfecto. En este caso, el método de resolución resaltado anteriormente se puede utilizar con la adición de algunos pasos. Tenga en cuenta el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Calcula las raíces de la ecuación x2 + 6x - 7 = 0.
Tenga en cuenta que esta ecuación no es un trinomio cuadrado perfecto. Para que así sea, podemos utilizar las siguientes operaciones:
Tenga en cuenta que b = 2 · 3, por lo que en el primer miembro la expresión que debería aparecer es x2 + 6x + 9, porque en esta expresión b = 2 · 3 y c = 32.
Para esta "transformación", agregue 32 en los dos miembros de esta ecuación, "pase" el - 7 al segundo miembro, realice las operaciones posibles y observe los resultados:
X2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
X2 + 6x + 32 = 32 + 7
X2 + 6x + 9 = 9 + 7
X2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
√ (x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 o x + 3 = - 4
Este último paso debe dividirse en dos ecuaciones, ya que la raíz de 16 puede ser 4 o - 4 (esto solo ocurre en las ecuaciones. Si se le pregunta cuál es la raíz de 16, la respuesta es solo 4). Entonces, es necesario encontrar todos los resultados posibles. Continuo:
x + 3 = 4 o x + 3 = - 4
x = 4 - 3 o x = - 4 - 3
x = 1 o x = - 7
En cuyo caso el coeficiente "a" no es igual a 1
Los casos anteriores están destinados a ecuaciones cuadráticas donde el coeficiente "a" es igual a 1. Si el coeficiente “a” es diferente de 1, simplemente divida toda la ecuación por el valor de “a” y proceda con los cálculos de la misma manera que en el caso anterior.
Ejemplo: Calcular 2x raíces2 + 16x - 18 = 0
Tenga en cuenta que a = 2. Así que divide la ecuación completa por 2 y simplifica los resultados:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
X2 + 8x - 9 = 0
Una vez hecho esto, repita los procedimientos del caso anterior.
X2 + 8x - 9 = 0
X2 + 8x - 9 + 16 = 0 + 16
X2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
√ (x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 o x + 4 = –5
x = 5 - 4 o x = - 5 - 4
x = 1 o x = - 9
Productos notables y ecuaciones de segundo grado: origen del método de terminación cuadrada
Las ecuaciones cuadráticas son muy parecidas a los productos notables suma cuadrada y cuadrado de la diferencia.
La suma al cuadrado, por ejemplo, es la suma de dos monomios al cuadrado. Mirar:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
El primer miembro de la igualdad anterior se conoce como producto notable y el segundo como trinomio cuadrado perfecto. Este último es muy parecido a una ecuación de segundo grado. Mirar:
Trinomio cuadrado perfecto: X2 + 2kx + k2
Ecuación de segundo grado: hacha2 + bx + c = 0
De esa forma, si hay alguna forma de escribir una ecuación cuadrática como un producto notable, tal vez también haya una manera de encontrar sus resultados sin la necesidad de utilizar la fórmula de Bhaskara.
Para hacer esto, tenga en cuenta que, en el producto notable anterior, a = 1, b = 2 · k y c = k2. De esta forma, es posible escribir ecuaciones que cumplan estos requisitos en forma de un producto notable.
Así que mira los coeficientes de la ecuación. Si "a" es diferente de 1, divida la ecuación completa por el valor de "a". De lo contrario, observe el coeficiente “b”. El valor numérico de la mitad de este coeficiente debe ser igual al valor numérico de la raíz cuadrada del coeficiente “c”. Matemáticamente, dada la ecuación ax2 + bx + c = 0, si a = 1 y además:
B = c
2
Entonces, puedes escribir esta ecuación así:
hacha2 + bx + c = (x + B) = 0
2
Y sus raíces serán - B y + b.
2 2
De ahí toda la teoría utilizada para calcular raíces de ecuaciones cuadráticas mediante el método de completar cuadrados.
Por Luiz Paulo Moreira
Licenciada en Matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm