Hipérbole. definición de hipérbole

¿Qué es una hipérbole?
Definición: Sean F1 y F2 dos puntos en el plano y sea 2c la distancia entre ellos, la hipérbola es el conjunto de los puntos en el plano cuya diferencia (en módulo) de las distancias a F1 y F2 es la constante 2a (0 <2a <2c).
Elementos de una hipérbole:

F1 y F2 → son los focos de hipérbola
→ es el centro de la hipérbole
2c → distancia focal
2 ° → medición de eje real o transversal
2b → medición de eje imaginario
c / a → excentricidad
Existe una relación entre a, byc → c² = el² + b²

Ecuación de hipérbola reducida
1er caso: Hipérbola con foco en el eje x.

Está claro que en este caso los focos tendrán las coordenadas F1 (-c, 0) y F2 (c, 0).
Así, la ecuación reducida de la elipse con centro en el origen del plano cartesiano y focos en el eje x será:

2º caso: Hipérbola con focos en el eje y.

En este caso, los focos tendrán las coordenadas F1 (0, -c) y F2 (0, c).
Así, la ecuación reducida de la elipse con centro en el origen del plano cartesiano y focos en el eje y será:

Ejemplo 1. Encuentre la ecuación reducida de la hipérbola con eje real 6, focos F1 (-5, 0) y F2 (5, 0).

Solución: tenemos que
2a = 6 → a = 3
F1 (-5, 0) y F2 (5, 0) → c = 5
De la notable relación, obtenemos:
C² = el² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² = 25 - 9 → b² = 16 → b = 4
Así, la ecuación reducida vendrá dada por:

Ejemplo 2. Encuentre la ecuación de hipérbola reducida que tiene dos focos con coordenadas F2 (0, 10) y un eje imaginario que mide 12.
Solución: tenemos que
F2 (0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Usando la relación notable, obtenemos:
10² = el² + 6² → 100 = a² + 36 → a² = 100 - 36 → a² = 64 → a = 8.
Así, la ecuación de hipérbola reducida vendrá dada por:

Ejemplo 3. Determine la distancia focal de la hipérbola con la ecuación
Solución: Dado que la ecuación de hipérbola es de tipo  tenemos que
La² = 16 y b² =9
De la notable relación que obtenemos
C² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5
La distancia focal viene dada por 2c. Así,
2c = 2 * 5 = 10
Entonces la distancia focal es 10.

Por Marcelo Rigonatto
Especialista en Estadística y Modelización Matemática
Equipo Escolar de Brasil

Geometría analítica - Matemáticas - Escuela Brasil