Practique su conocimiento de los sistemas lineales, un tema matemático importante que involucra el estudio de ecuaciones simultáneas. Con muchas aplicaciones prácticas, se utilizan para resolver problemas que involucran diferentes variables.
Todas las preguntas se resuelven paso a paso, donde utilizaremos diferentes métodos, tales como: sustitución, suma, eliminación, escala y la regla de Cramer.
Pregunta 1 (método de sustitución)
Determina el par ordenado que resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales.
Respuesta:
Aislando x en la primera ecuación:
Sustituyendo x en la segunda ecuación:
Sustituyendo el valor de y en la primera ecuación.
Entonces, el par ordenado que resuelve el sistema es:
Pregunta 2 (método de escala)
La solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales es:
Respuesta: x = 5, y = 1, z = 2
El sistema ya está en forma escalonada. La tercera ecuación tiene dos coeficientes cero (y = 0 y x = 0), la segunda ecuación tiene un coeficiente cero (x = 0) y la tercera ecuación no tiene coeficientes cero.
En un sistema escalonado, resolvemos "de abajo hacia arriba", es decir, comenzamos con la tercera ecuación.
Pasando a la ecuación superior, sustituimos z = 2.
Finalmente, sustituimos z = 2 e y = 1 en la primera ecuación, para obtener x.
Solución
x = 5, y = 1, z = 2
Pregunta 3 (regla o método de Cramer)
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Respuesta: x = 4, y = 0.
Usando la regla de Cramer.
Paso 1: determinar los determinantes D, Dx y Dy.
La matriz de coeficientes es:
Su determinante:
D = 1. 1 - 2. (-1)
re = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3
Para el cálculo de Dx, reemplazamos la columna de términos de x con la columna de términos independientes.
Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12
Para el cálculo de Dy, reemplazamos los términos de y con los términos independientes.
Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0
paso 2: determine x e y.
Para determinar x, hacemos:
Para determinar y, hacemos:
pregunta 4
Un vendedor de camisetas y gorras en un evento deportivo vendió 3 camisetas y 2 gorras, recaudando un total de R$ 220,00. Al día siguiente, vendió 2 camisetas y 3 gorras, recaudando R$ 190,00. ¿Cuál sería el precio de una camiseta y el precio de un sombrero?
a) Camiseta: BRL 60,00 | Gorra: BRL 40,00
b) Camiseta: BRL 40,00 | Gorra: BRL 60,00
c) Camiseta: BRL 56,00 | Gorra: BRL 26,00
d) Camiseta: BRL 50,00 | Gorra: BRL 70,00
e) Camiseta: R$ 80,00 | Gorra: BRL 30,00
Identifiquemos el precio de las camisetas c y el precio de los sombreros b.
Para el primer día tenemos:
3c + 2b = 220
Para el segundo día tenemos:
2c + 3b = 190
Formamos dos ecuaciones con dos incógnitas cada una, c y b. Entonces tenemos un sistema de ecuaciones lineales 2x2.
Resolución
Usando la regla de Cramer:
1er paso: determinante de la matriz de coeficientes.
2º paso: determinante Dc.
Sustituimos la columna de c por la matriz de términos independientes.
3er paso: determinante Db.
4to paso: determinar el valor de c y b.
Respuesta:
El precio de la camiseta es R$ 56,00 y la gorra R$ 26,00.
pregunta 5
Un cine cobra R$ 10,00 por entrada para adultos y R$ 6,00 por entrada para niños. En un día, se vendieron 80 boletos y la recaudación total fue de R$ 700,00. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?
a) Adultos: 75 | Niños: 25
b) Adultos: 40 | Niños: 40
c) Adultos: 65 | Niños: 25
d) Adultos: 30 | Niños: 50
e) Adultos: 25 | Niños: 75
Lo nombraremos como El el precio de la entrada para adultos y w para niños.
En relación al total de entradas tenemos:
a + c = 80
En cuanto al valor obtenido tenemos:
10a + 6c = 700
Formamos un sistema de ecuaciones lineales con dos ecuaciones y dos incógnitas, es decir, un sistema 2x2.
Resolución
Usaremos el método de sustitución.
Aislando a en la primera ecuación:
a = 80 - c
Sustituyendo a en la segunda ecuación:
10.(80 - c) + 6c = 700
800 -10c + 6c = 700
800 - 700 = 10c - 6c
100 = 4c
c = 100/4
c = 25
Sustituyendo c en la segunda ecuación:
6a + 10c = 700
6a+10. 25 = 700
6 años + 250 = 700
6a = 700 - 250
6a = 450
a = 450/6
un = 75
pregunta 6
Una tienda vende camisetas, pantalones cortos y zapatos. El primer día se vendieron 2 camisetas, 3 shorts y 4 pares de zapatos, por un valor total de R$ 350,00. En el segundo día, se vendieron 3 camisetas, 2 shorts y 1 par de zapatos, por un valor de R$ 200,00. En el tercer día, se vendieron 1 camiseta, 4 shorts y 2 pares de zapatos, por un valor de R$ 320,00. ¿Cuánto costaría una camiseta, pantalones cortos y un par de zapatos?
a) Camiseta: BRL 56,00 | Bermudas: R$ 24,00 | Zapatos: BRL 74,00
b) Camiseta: BRL 40,00 | Bermudas: R$ 50,00 | Zapatos: BRL 70,00
c) Camiseta: BRL 16,00 | Bermudas: R$ 58,00 | Zapatos: BRL 36,00
d) Camiseta: BRL 80,00 | Bermudas: R$ 50,00 | Zapatos: BRL 40,00
e) Camiseta: BRL 12,00 | Bermudas: R$ 26,00 | Zapatos: BRL 56,00
- c es el precio de las camisas;
- b es el precio de los pantalones cortos;
- s es el precio de los zapatos.
Para el primer día:
2c + 3b + 4s = 350
Para el segundo día:
3c + 2b + s = 200
Para el tercer día:
c + 4b + 2s = 320
Tenemos tres ecuaciones y tres incógnitas, formando un sistema de ecuaciones lineales de 3x3.
Usando la regla de Cramer.
La matriz de coeficientes es
Su determinante es D = 25.
La matriz de columnas de respuestas es:
Para calcular Dc, reemplazamos la matriz de columnas de respuestas con la primera columna en la matriz de coeficientes.
CC = 400
Para el cálculo de Db:
DB = 1450
Para el cálculo de Ds:
D = 900
Para determinar c, b y s, dividimos los determinantes Dc, Db y Ds por el determinante principal D.
pregunta 7
Un restaurante ofrece tres opciones de platos: carne, ensalada y pizza. En el primer día, se vendieron 40 platos de carne, 30 platos de ensalada y 10 pizzas, totalizando R$ 700,00 en ventas. En el segundo día, se vendieron 20 platos de carne, 40 platos de ensalada y 30 pizzas, totalizando R$ 600,00 en ventas. En el tercer día, se vendieron 10 platos de carne, 20 platos de ensalada y 40 pizzas, totalizando R$ 500,00 en ventas. ¿Cuánto costaría cada plato?
a) carne: BRL 200,00 | ensalada: R$ 15,00 | pizza: BRL 10,00
b) carne: R$ 150,00 | ensalada: R$ 10,00 | pizza: BRL 60,00
c) carne: R$ 100,00 | ensalada: R$ 15,00 | pizza: BRL 70,00
d) carne: BRL 200,00 | ensalada: R$ 10,00 | pizza: BRL 15,00
e) carne: R$ 140,00 | ensalada: R$ 20,00 | pizza: BRL 80,00
Usando:
- c para carne;
- s para ensalada;
- p para pizza.
En el primer día:
En el segundo día:
En el tercer dia:
El precio de cada plato se puede obtener resolviendo el sistema:
Resolución
Utilizando el método de eliminación.
Multiplica 20c + 40s + 30p = 6000 por 2.
Resta la segunda ecuación matricial obtenida de la primera.
En la matriz anterior, reemplazamos esta ecuación con la segunda.
Multiplicamos la tercera ecuación anterior por 4.
Restando el tercero de la primera ecuación, obtenemos:
Sustituyendo la ecuación obtenida por la tercera.
Restando las ecuaciones dos y tres, tenemos:
De la tercera ecuación, obtenemos p = 80.
Sustituyendo p en la segunda ecuación:
50s + 50.80 = 5000
50s + 4000 = 5000
50 = 1000
s = 1000/50 = 20
Sustituyendo los valores de s y p en la primera ecuación:
40c + 30,20 + 10,80 = 7000
40c + 600 + 800 = 7000
40c = 7000 - 600 - 800
40c = 5600
c = 5600 / 40 = 140
Solución
p=80, s=20 y c=140
pregunta 8
(UEMG) En el plan, el sistema representa un par de líneas
a) coincidente.
b) distintas y paralelas.
c) rectas concurrentes en el punto ( 1, -4/3 )
d) líneas concurrentes en el punto ( 5/3, -16/9 )
Multiplicando la primera ecuación por dos y sumando las dos ecuaciones:
Sustituyendo x en la ecuación A:
pregunta 9
(PUC-MINAS) Cierto laboratorio envió 108 pedidos a las farmacias A, B y C. Se sabe que el número de pedidos enviados a la farmacia B fue el doble del número total de pedidos enviados a las otras dos farmacias. Además, tres pedidos de más de la mitad del monto enviado a la farmacia A se enviaron a la farmacia C.
Con base en esta información, es CORRECTO afirmar que el número total de pedidos enviados a las farmacias B y C fue
a) 36
segundo) 54
c) 86
d) 94
Según el enunciado tenemos:
A + B + C = 108.
Además, que la cantidad de B era el doble que la de A + C.
B = 2 (A + C)
Se despacharon tres pedidos a la farmacia C, más de la mitad de la cantidad despachada a la farmacia A.
C = A/2 + 3
Tenemos ecuaciones y tres incógnitas.
Utilizando el método de sustitución.
Paso 1: reemplaza el tercero por el segundo.
Paso 2: Sustituye el resultado obtenido y la tercera ecuación en la primera.
Paso 3: Sustituye el valor de A para determinar los valores de B y C.
B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72
para C:
Paso 4: suma los valores de B y C.
72 + 14 = 86
pregunta 10
(UFRGS 2019) Para que el sistema de ecuaciones lineales posible y determinado, es necesario y suficiente que
a) a ∈ R.
b) a = 2.
c) a = 1.
d) un ≠ 1.
c) un ≠ 2.
Una de las formas de clasificar un sistema como posible y determinado es a través del método de Cramer.
La condición para esto es que los determinantes sean diferentes de cero.
Haciendo el determinante D de la matriz principal igual a cero:
Para aprender más sobre los sistemas lineales:
- Sistemas Lineales: qué son, tipos y cómo resolverlos
- Sistemas de Ecuaciones
- Escalado de Sistemas Lineales
- Regla de Cramer
Para más ejercicios:
- Sistemas de Ecuaciones de 1er Grado
AST, Rafael. Ejercicios de sistemas lineales resueltos.Todo importa, [Dakota del Norte.]. Disponible: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Acceso en:
vea también
- Sistemas lineales
- Escalado de Sistemas Lineales
- Sistemas de Ecuaciones
- 11 ejercicios de multiplicación de matrices
- ecuación de segundo grado
- Ejercicios de desigualdad
- 27 ejercicios de Matemáticas Básicas
- Regla de Cramer
