Uno raíz cuadrada aproximada es una representación finita de un numero irracional. En muchos casos, cuando se trabaja con raíces cuadradas, una estimación con algunos decimales es suficiente para nuestros cálculos.
La calculadora es una herramienta importante en este proceso. Su pantalla, que tiene espacio limitado, indica una buena aproximación para raíces cuadradas no exactas. Pero también es posible encontrar estas estimaciones sin la ayuda de una calculadora, como veremos a continuación.
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Resumen aproximado de raíces cuadradas
Una raíz cuadrada inexacta es un número irracional.
Podemos encontrar valores aproximados para raíces cuadradas no exactas.
La precisión de la aproximación depende del número de lugares decimales utilizados.
La aproximación se puede hacer de diferentes maneras, incluso con la ayuda de la calculadora.
Encontrar una aproximación de y a la raíz cuadrada de x significa que y² está muy cerca de x, pero y² no es igual a x.
Lección en video sobre la raíz cuadrada aproximada
¿Cómo se calcula la raíz cuadrada aproximada?
Hay diferentes maneras para calcular la aproximación de una raíz cuadrada. ¡Uno de ellos es la calculadora! Por ejemplo, cuando escribimos \(\raíz cuadrada{2}\) en la calculadora y haga clic en =, el número resultante es una aproximación. Lo mismo pasa con \(\sqrt{3}\) Es \(\sqrt{5}\), que también son raíces cuadradas no exactas, es decir, son números irracionales.
Otra forma es usar raíces exactas cercanas a la raíz no exacta estudiada. Esto le permite comparar las representaciones decimales y encontrar un rango para la raíz no exacta. Así, podemos probar algunos valores hasta encontrar una buena aproximación.
Suena difícil, pero no te preocupes: es un proceso de prueba. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplos
Encuentre una aproximación a dos lugares decimales para \(\mathbf{\sqrt{5}}\).
darse cuenta de que \(\sqrt{4}\) Es \(\sqrt{9}\) son las raíces exactas más cercanas de \(\sqrt{5}\). Recuerda que cuanto mayor sea el radicando, mayor será el valor de la raíz cuadrada. Así, podemos concluir que
\(\sqrt{4}
\(2
O sea, \(\sqrt5\) es un número entre 2 y 3.
Ahora es el momento de probar: elegimos algunos valores entre 2 y 3 y comprobamos si cada número al cuadrado se acerca a 5. (Recuerde que \(\sqrt5=a\) si \(a^2=5\)).
En aras de la simplicidad, comencemos con números con un decimal:
\(2,1^2=4,41\)
\(2,2^2=4,84\)
\(2,3^2=5,29\)
Tenga en cuenta que ni siquiera necesitamos continuar analizando números hasta un lugar decimal: el número que estamos buscando está entre 2.2 y 2.3.
\(2,2
Ahora, como buscamos una aproximación con dos decimales, procedamos con las pruebas:
\(2,21^2=4,8841\)
\(2,22^2=4,9284\)
\(2,23^2=4,9729\)
\(2,24^2=5,0176\)
Una vez más, podemos detener el análisis. El número que está buscando está entre 2,23 y 2,24.
\(2.23
Pero y ahora? ¿Cuál de estos valores con dos decimales elegimos como una aproximación de \(\sqrt5\)? Ambas son buenas opciones, pero ten en cuenta que la mejor es aquella cuyo cuadrado está más cerca de 5:
\(5–2,23^2=5-4,9729=0,0271\)
\(2,24^2-5=5,0176-5=0,0176\)
O sea, \(2,24^2 \) está más cerca de 5 que \(2,23^2\).
Por lo tanto, la mejor aproximación a dos decimales para \(\sqrt5\) é 2,24. escribimos eso \(\sqrt5≈2.24\).
Encuentre una aproximación a dos lugares decimales para \(\mathbf{\sqrt{20}}\).
Podríamos empezar de la misma forma que en el ejemplo anterior, es decir, buscar raíces exactas cuyas radicandos están cerca de 20, pero tenga en cuenta que es posible disminuir el valor del radicando y facilitar el cuentas:
\(\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt4·\sqrt5=2\sqrt5\)
Tenga en cuenta que realizamos la descomposición del radicando 20 y usamos una propiedad de enraizamiento.
ahora como \(\sqrt20=2\sqrt5\), podemos usar la aproximación con dos decimales para \(\sqrt5\) del ejemplo anterior:
\(\sqrt{20} ≈2.2,24 \)
\(\sqrt{20} ≈4.48\)
Observación: Como usamos un número aproximado (\(\sqrt5≈2.24\)), el valor 4.48 puede no ser la mejor aproximación con dos decimales para \(\sqrt{20}\).
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Diferencias entre raíz cuadrada aproximada y raíz cuadrada exacta
Una raíz cuadrada exacta es un número racional. darse cuenta de que \(\sqrt9\),\(\sqrt{0,16}\) Es \(\sqrt{121}\) son ejemplos de raíces cuadradas exactas, como \(\raíz cuadrada{9}=3\), \(\raíz cuadrada{0,16}=0,4\) Es \(\raíz cuadrada{121}=11\). Además, cuando aplicamos la operación inversa (es decir, la potenciación con exponente 2), obtenemos el radicando. En los ejemplos anteriores, tenemos \(3^2=9\), \(0,4^2=0,16\) Es \(11^2=121\).
Una raíz cuadrada inexacta es un número irracional (es decir, un número con infinitos lugares decimales que no se repiten). Así, usamos aproximaciones en su representación decimal. darse cuenta de que \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) Es \(\sqrt6\) son ejemplos de raíces no exactas, porque \(\sqrt2≈1.4142135\), \(\sqrt3≈1.7320508\) Es \(\sqrt6≈2.44949\). Además, cuando aplicamos la operación inversa (es decir, la potencia con exponente 2), obtenemos un valor cercano al radicando, pero no igual. En los ejemplos anteriores, tenemos \(1,4142135^2=1,999999824\), \(1,7320508^2=2,999999974\) Es \(2,44949^2=6,00000126\).
Ejercicios resueltos de raíz cuadrada aproximada
Pregunta 1
Ordena los siguientes números en orden ascendente: \(13,\raíz cuadrada{150},\raíz cuadrada{144},14\).
Resolución
darse cuenta de que \(\sqrt{150}\) es una raíz cuadrada no exacta y \(\sqrt{144}\) es exacto (\(\raíz cuadrada{144}=12\)). Por lo tanto, sólo necesitamos identificar la posición de \(\sqrt{150}\).
nota \(13=\sqrt{169}\). Considerando que cuanto mayor es el radicando, mayor es el valor de la raíz cuadrada, tenemos que
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}\)
Por tanto, ordenando los números en orden ascendente, tenemos
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < 13 < 14\)
Pregunta 2
Entre las siguientes alternativas, ¿cuál es la mejor aproximación con un decimal para el número \(\sqrt{54}\)?
a) 6.8
segundo) 7.1
c) 7.3
d) 7,8
mi) 8.1
Resolución
Alternativa C
tenga en cuenta que \(\sqrt{49}\) Es \(\sqrt{64}\) son las raíces cuadradas exactas más cercanas de \(\sqrt{54}\). Como \(\raíz cuadrada{49}=7\) Es \(\raíz cuadrada{64}=8\), tenemos que
\(7
Veamos algunas posibilidades de aproximación con un decimal para \(\sqrt{54}\):
\(7,1^2=50,41\)
\(7,2^2=51,84\)
\(7,3^2=53,29\)
\(7,4^2=54,76\)
Tenga en cuenta que no es necesario continuar con las pruebas. Además, entre las alternativas, 7.3 es la mejor aproximación a un decimal para \(\sqrt{54}\).
Por María Luisa Alves Rizzo
Profesora de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/raiz-quadrada-aproximada.htm