A Proporción dorado o la proporción divina es una igualdad asociada con ideas de armonía, belleza y perfección. Euclides de Alejandría, matemático griego que vivió alrededor del año 300 a. C., fue uno de los primeros pensadores en formalizar este concepto que hasta el día de hoy intriga a investigadores de diferentes áreas.
El motivo de este interés es que la proporción áurea se puede observar de forma aproximada en la naturaleza, incluso en las semillas y hojas de las plantas y en el cuerpo humano. En consecuencia, la proporción áurea es objeto de estudio por parte de diferentes profesionales, como biólogos, arquitectos, artistas y diseñadores.
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Resumen sobre la proporción áurea
La proporción áurea es la proporción de \(a>b>0\) tal que
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
En estas condiciones, la razón ElB se llama proporción áurea.
La proporción áurea está conectada con conceptos de equilibrio, pureza y perfección.
La letra griega ϕ (léase: fi) representa el número áureo, que es la constante obtenida de la proporción áurea.
En la sucesión de Fibonacci, los cocientes entre cada término y su predecesor se aproximan al número áureo.
El rectángulo áureo es un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea.
¿Qué es la proporción áurea?
Considere un segmento de recta dividido en dos partes: la mayor de medida El y el mas pequeño B. darse cuenta de que a+b es la medida de todo el segmento.
la proporción áurea es igualdad entre las razones\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) Es \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), o sea
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
En este contexto, decimos que El Es B están en proporción áurea.
Pero ¿para qué valores de El Es B ¿Tenemos la proporción áurea? Eso es lo que veremos a continuación.
¿Cómo calcular el número de oro?
La razón \(\frac{a}b\)(o, igualmente, la razón \(\frac{a+b}a\)) da como resultado una constante llamada número áureo y representado por la letra griega ϕ. Así, es común escribir
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Para calcular el número áureo, consideremos la proporción áurea para b = 1. Por lo tanto, podemos encontrar fácilmente el valor de El y obtener ϕ de la igualdad \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Tenga en cuenta que podemos escribir la proporción áurea de la siguiente manera, usando la propiedad de la multiplicación cruzada:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Sustituyendo b = 1, tenemos
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Aplicando la fórmula de Bhaskara para esta ecuación cuadrática, concluimos que la solución positiva de El é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Como El es una medida de un segmento, descartaremos la solución negativa.
Así que cómo \(\frac{a}b=ϕ\), El valor exacto del número áureo es:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Calculando el cociente, obtenemos El valor aproximado del número de oro:
\(ϕ≈1,618033989\)
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Proporción áurea y la secuencia de Fibonacci
A La sucesión de Fibonacci es una lista de números donde cada término, a partir del tercero, es igual a la suma de los dos predecesores. Veamos los primeros diez términos de esta sucesión:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Como calculamos el cociente entre cada término y su predecesor en la sucesión de Fibonacci, nos acercamos al número de oro ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1.6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1.6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1.61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1.61764…\)
Proporción áurea y el rectángulo áureo
Uno rectángulo donde el lado mas largo El y el lado menor B están en proporción áurea se llama el rectángulo dorado. Un ejemplo de rectángulo áureo es un rectángulo cuyos lados miden 1 cm y \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
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Aplicaciones de la proporción áurea
Tenga en cuenta que, hasta ahora, hemos estudiado la proporción áurea solo en contextos matemáticos abstractos. A continuación, veremos algunos ejemplos aplicados, pero hay que tener cuidado: la proporción áurea no se presenta exactamente en ninguno de estos casos. Lo que existe son análisis de diferentes contextos en los que el número dorado aparece asíaproximado.
Proporción áurea en arquitectura
Algunos estudios afirman que se observan estimaciones de la cantidad de oro en ciertas proporciones de las dimensiones de la Pirámide de Keops, en Egipto, y del edificio de la sede de la ONU, en Nueva York.
Proporción áurea en el cuerpo humano
Las medidas del cuerpo humano varían de una persona a otra, y no existe un tipo de cuerpo perfecto. Sin embargo, al menos desde la Antigua Grecia, ha habido debates sobre un cuerpo matemáticamente ideal (y totalmente inalcanzable en la realidad), con medidas relacionadas con la proporción áurea. En este contexto teórico, por ejemplo, la relación entre la altura de una persona y la distancia entre el ombligo y el suelo sería el número áureo.
proporción áurea en el arte
Hay investigaciones sobre las obras “El Hombre de Vitruvio” y “Mona Lisa”, del italiano Leonardo da Vinci, que sugieren la uso de rectángulos dorados.
Proporción áurea en la naturaleza
Hay estudios que apuntan a una relación entre la proporción áurea y la forma en que se distribuyen las hojas de ciertas plantas en un tallo. Esta disposición de las hojas se denomina filotaxia.
Proporción áurea en el diseño
La proporción áurea también es estudiada y utilizada en el área de Diseño como herramienta de composición de proyectos.
Ejercicios resueltos de proporción áurea
Pregunta 1
(Enem) Un segmento de recta se divide en dos partes en proporción áurea cuando el todo está a una de las partes en la misma proporción que esta parte está a la otra. Esta constante de proporcionalidad comúnmente se representa con la letra griega ϕ, y su valor viene dado por la solución positiva de la ecuación ϕ2 = ϕ+1.
Al igual que el poder \(ϕ^2\), las potencias superiores de ϕ se pueden expresar de la forma \(aϕ+b\), donde a y b son números enteros positivos, como se muestra en la tabla.
la potencia \(ϕ^7\), escrito en la forma aϕ+b (a y b son números enteros positivos), es
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Resolución
Como \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), tenemos que
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Aplicando el distributivo,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Como \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E alternativa.
Pregunta 2
Califica cada afirmación a continuación sobre el número áureo como V (Verdadero) o F (Falso).
i. El número de oro ϕ es irracional.
II. Los cocientes entre cada término y su predecesor en la sucesión de Fibonacci se aproximan al valor de ϕ.
tercero 1,618 es el redondeo a tres decimales del número áureo ϕ.
La secuencia correcta, de arriba hacia abajo, es
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) F-V-V
Resolución
i. Verdadero.
II. Verdadero.
tercero Verdadero.
alternativa a
Fuentes
FRANCISCO, S. V. de l Entre la fascinación y la realidad de la proporción áurea. Disertación (Maestría Profesional en Matemáticas en Red Nacional) – Instituto de Biociencias, Letras y Ciencias Exactas, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. São Paulo, 2017. Disponible: http://hdl.handle.net/11449/148903.
VENTAS, J. de s. La proporción áurea presente en la naturaleza. Finalización de trabajo de curso (Licenciatura en Matemáticas), Instituto Federal de Educación, Ciencia y Tecnología de Piauí. Piauí, 2022. Disponible http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/mango/123456789/1551.
Por María Luisa Alves Rizzo
Profesora de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm
