O apotema de un polígono es un segmento con extremos en el centro del polígono y en el punto medio de uno de los lados. Este segmento forma un ángulo de 90° con el lado respectivo del polígono.
Para calcular la medida de la apotema, es necesario considerar las características del polígono en cuestión. Dependiendo de la forma geométrica, es posible construir una fórmula para obtener esta medida. Una observación importante es que la medida de la apotema de un polígono regular es igual a la medida del radio de la circunferencia inscrita en el polígono.
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Resumen sobre la apotema
La apotema es el segmento de un polígono que une el centro (punto de encuentro de bisectrices perpendiculares) con el punto medio de uno de los lados.
El ángulo entre la apotema y el lado respectivo del polígono mide 90°.
La medida de la apotema de un polígono regular es igual a la medida del radio de la circunferencia inscrita en el polígono.
La apotema OM de un triángulo equilátero de lado yo está dada por la fórmula
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
La apotema OM de un cuadrado de lado yo está dada por la fórmula
\(OM = \frac{l}2\)
La apotema OM de un hexágono regular de un lado yo está dada por la fórmula
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
El apotema de una pirámide es el segmento que une el vértice con el punto medio de una de las aristas de la base, y su medida se puede obtener por el teorema de Pitágoras.
Ejemplos de apotema
Para encontrar la apotema de un polígono, debemos construir la segmento de recta que une el centro del polígono con el punto medio de uno de los lados. Recuerda que el centro de un polígono es donde se encuentran las bisectrices.
En estos ejemplos, la apotema se consideró en polígonos planos. Sin embargo, hay un objeto espacial que tiene un tipo diferente de apotema: la pirámide.
En una pirámide hay dos tipos de apotema: la apotema de la base, que es la apotema del polígono que forma la base de la pirámide, y la apotema de la pirámide, que es el segmento que une el vértice con el punto medio de una arista base (es decir, es la altura de una cara lateral de la base). pirámide).
En el siguiente ejemplo de base cuadrada, el segmento OM es la apotema de la base y el segmento VM es la apotema de la pirámide, siendo M el punto medio de BC.
¿Cuáles son las fórmulas de la apotema?
Conociendo las características de un polígono, especialmente de los polígonos regulares, podemos desarrollar fórmulas para calcular la medida de la apotema. Veamos cuáles son estas fórmulas para los principales polígonos regulares.
Fórmula de la apotema del triángulo equilátero
En el caso del triángulo equilátero, la altura y la mediana relativas a un lado dado son iguales. Esto significa que el centro del polígono coincide con el baricentro del triangulo Así, el punto O divide la altura AM de la siguiente manera:
\(AO = \frac{2}3 AM\) Es \(OM=\frac{1}3 AM\)
Recuerda que la medida de altura de un triangulo equilatero yo es dado por:
\(Altura\triángulo\equilátero=\frac{l\sqrt3}2\)
Por tanto, como AM es la altura del triángulo equilátero ABC y el segmento OM es la apotema del triángulo, podemos elaborar la siguiente expresión para la medida de OM, considerando que el lado del triángulo mide yo:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotema de la Fórmula Cuadrada
En el caso de la plaza, la medida de la apotema corresponde a la mitad de la longitud del lado. Así, si O es el centro del cuadrado, M es el punto medio de uno de los lados, y yo es la longitud del lado del cuadrado, por lo que la fórmula de la apotema OM es
\(OM=\frac{l}2\)
Fórmula de apotema de hexágono regular
En el hexágono regular, la apotema corresponde a la altura de un triángulo equilátero con vértices en dos extremos de uno de los lados y en el centro del polígono. En el siguiente ejemplo, la apotema OM del hexágono regular es la altura del triángulo equilátero OCD, donde M es el punto medio de CD.
Como mencionamos antes, se conoce la altura de un triángulo equilátero. Así, si el lado de un hexágono regular mide yo, entonces la fórmula de la apotema OM es
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Fórmula de la apotema piramidal
La medida de la apotema de la pirámide se puede obtener con la ayuda con el teorema de pitagoras. En el siguiente ejemplo, en una pirámide cuadrada, el triángulo VOM es un rectángulo, con catetos VO y OM e hipotenusa VM. Tenga en cuenta que VO es la altura de la pirámide, OM es la apotema de la base y VM es la apotema de la pirámide.
Así, para determinar la medida de la apotema de la pirámide, debemos aplicar el teorema de Pitágoras:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
¡Cuidadoso! VM es la altura de un triángulo isósceles, no de un triángulo equilátero. Entonces, en este caso, no podemos usar la fórmula para la altura de un triángulo equilátero.
¿Cómo se calcula la apotema?
Para calcular la apotema de un polígono o de la pirámide, podemos utilizar las fórmulas construidas o asociar la apotema al radio de la circunferencia inscrita.
Ejemplo 1: Suponga que un círculo de 3 cm de radio está inscrito en un triángulo equilátero. ¿Cuál es la medida de la apotema de este triángulo?
Como la apotema de un polígono tiene la misma medida que el radio de la circunferencia inscrita, la apotema del triángulo mide 3 cm.
Ejemplo 2: ¿Cuál es la medida de la apotema de un hexágono regular de 4 cm de lado?
Usando la fórmula de la apotema de un hexágono regular con \(l=4\) cm, tenemos que
\(Medida\ de\ apotema=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
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Ejercicios resueltos sobre la apotema
Pregunta 1
Si una pirámide de 4 cm de altura tiene una apotema de base de 3 cm, entonces la medida de la apotema de la pirámide es
a) 5cm
b) 6cm
c) 7cm
d) 8cm
mi) 9cm
Resolución:
En una pirámide, podemos construir un triángulo rectángulo en el que un cateto es la apotema de la base, el otro cateto es la altura de la pirámide y la hipotenusa es la apotema de la pirámide. Así, aplicando el teorema de Pitágoras a la hipotenusa de medida x,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\cm\)
alternativa a
Pregunta 2
Si la apotema de un cuadrado es y cm, entonces el lado del cuadrado es
El) \(\frac{1}3y\) cm
B) \(\frac{1}2y\) cm
c) ycm
d) 2ycm
e) 3ycm
Resolución
La apotema de un cuadrado es la mitad de la longitud del lado del cuadrado. Por tanto, si la apotema mide y cm, el cuadrado mide 2y cm.
alternativa d
Por María Luisa Alves Rizzo
Profesora de matemáticas