A área de diamantes es la medida de su región interior. Una forma de calcular el área. de un rombo es determinar la mitad del producto entre la diagonal mayor y la diagonal menor, cuyas medidas están representadas por D Es d respectivamente.
Lea también: ¿Cómo calcular el área de un cuadrado?
Resumen sobre el área del rombo.
Un rombo es un paralelogramo con cuatro lados congruentes y ángulos opuestos congruentes.
Las dos diagonales de un rombo se conocen como la diagonal mayor (D) y diagonal menor (d).
Cada diagonal de un rombo divide ese polígono en dos triángulos congruentes.
Las dos diagonales del rombo son perpendiculares y se cortan en sus puntos medios.
La fórmula para calcular el área del rombo es:
\(A=\frac{D\veces d}{2}\)
elementos de rombo
el diamante es un paralelogramo formado por cuatro lados de igual longitud y ángulos opuestos de la misma medida. En el diamante de abajo, tenemos \(\overline{PQ}=\overline{QR}=\overline{RS}=\overline{SP}\), \(\sombrero{P}=\sombrero{R}\) Es \(\sombrero{Q}=\sombrero{S}\).
Los segmentos con extremos en vértices opuestos son las diagonales del rombo. En la imagen de abajo, llamamos al segmento \(\overline{PR}\) en diagonal más grande y el segmento \(\overline{QS}\) en diagonal más pequeña.
Propiedades diagonales del rombo
Conozcamos dos propiedades relacionadas con las diagonales del rombo.
Propiedad 1: Cada diagonal divide el rombo en dos triángulos isósceles congruentes.
Primero considere la diagonal más grande \(\overline{PR}\) de un rombo PQRS de lado yo.
darse cuenta de que \(\overline{PR}\) Divide el rombo en dos triángulos: PQR Es PSR. Todavía:
\(\overline{PQ}=\overline{PS}=l\)
\(\overline{QR}=\overline{SR}=l\)
\(\overline{PR}\) es el lado común.
Así, por el criterio LLL, los triangulos PQR Es PSR son congruentes.
Ahora considere la diagonal más pequeña \(\overline{QS}\).
darse cuenta de que \(\overline{QS} \) Divide el rombo en dos triángulos: PQS Es RQS. Todavía:
\(\overline{PQ}=\overline{RQ}=l\)
\(\overline{PS}=\overline{RS}=l\)
\(\overline{QS}\) es el lado común.
Así, por el criterio LLL, los triángulos PQS Es RQS son congruentes.
Propiedad 2: Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en el punto medio.
El ángulo formado por las diagonales \(\overline{PR}\) Es \(\overline{QS}\) mide 90°.
EsO el punto de encuentro de las diagonales \(\overline{{PR}}\) Es \(\overline{{QS}}\); así, O es el punto medio de \(\overline{PR}\) y es también el punto medio de \(\overline{QS}\). si \( \overline{PR}\)dame D Es \(\overline{QS}\) dame d, Esto significa que:
\(\overline{PO}=\overline{O}=\frac{D}{2}\)
\(\overline{QO}=\overline{SO}=\frac{d}{2}\)
Observación: Las dos diagonales de un rombo dividen esta figura en cuatro triángulos rectángulos congruentes. Considere los triángulos PQO, RQO, PSO Es RSO. Tenga en cuenta que cada uno tiene un lado de medición. yo (la hipotenusa), una de medida \(\frac{D}{2}\) y otra medida \(\frac{d}{2}\).
Vea también: Comparación y semejanza entre triángulos
fórmula del área del rombo
Es D la longitud de la diagonal mayor y d la medida de la diagonal menor de un rombo; La fórmula del área del rombo es:
\(A=\frac{D\veces d}{2}\)
A continuación se muestra una demostración de esta fórmula.
Según la primera propiedad que estudiamos en este texto, la diagonal \(\overline{QS}\) dividir el diamante PQRS en dos triángulos congruentes (PQS Es RQS). Esto significa que estos dos triángulos tienen la misma área. Como consecuencia, el area del rombo es el doble del area de uno de estos triangulos.
\(A_{\mathrm{diamante}}=2\veces A_{triángulo} PQS\)
De acuerdo con la segunda propiedad que estudiamos, la base del triángulo PQS dame d y las medidas de altura D2. Recuerda que el área de un triángulo se puede calcular por base×altura2. Pronto:
\(A_{\mathrm{diamante}}=2\veces A_{triángulo} PQS\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=2\times\left(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\right)\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=2\times\left(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\right)\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{D\veces d}{2}\)
¿Cómo calcular el área de un rombo?
Como vimos, si se informan las medidas de las diagonales, basta aplica la formula para calcular el area de un rombo:
\(A=\frac{D\veces d}{2}\)
De lo contrario, necesitamos adoptar otras estrategias, considerando, por ejemplo, las propiedades de este polígono.
Ejemplo 1: ¿Cuál es el área de un rombo cuyas diagonales miden 2 cm y 3 cm?
Aplicando la formula tenemos:
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{D\veces d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{3\times2}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=3 cm²\)
Ejemplo 2: ¿Cuál es el área de un rombo cuyo lado y diagonal menor miden, respectivamente, 13 cm y 4 cm?
Observando la propiedad 2, las diagonales de un rombo dividen este polígono en cuatro triángulos rectángulos congruente. Cada triángulo rectángulo tiene catetos de medida. \(\frac{d}{2}\) Es \(\frac{D}{2}\) y mide la hipotenusa yo. Por el teorema de Pitágoras:
\(l^2=\left(\frac{d}{2}\right)^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2\)
reemplazando \(p=4 cm\) Es re=4 cm, tenemos que
\(\left(\sqrt{13}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2\ )
\(13=4+\frac{D^2}{4}\)
\(D^2=36\)
Como D es la medida de un segmento, solo podemos considerar el resultado positivo. O sea:
D=6
Aplicando la formula tenemos:
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{D\veces d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{6\times4}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=\ 12 cm²\)
Sepa mas: Fórmulas utilizadas para calcular el área de figuras planas
Ejercicios en el área del rombo.
Pregunta 1
(Fauel) En un rombo, las diagonales miden 13 y 16 cm. ¿Cuál es la medida de su área?
a) 52 cm²
b) 58 cm²
c) 104 cm²
d) 208 cm²
e) 580 cm²
Resolución: alternativa c
Aplicando la formula tenemos:
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{D\veces d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{16\times13}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=\ 104 cm²\)
Pregunta 2
(Fepese) Una fábrica produce piezas de cerámica en forma de rombo, cuya diagonal menor mide la cuarta parte de la diagonal mayor y la diagonal mayor mide 84 cm.
Por tanto, el área de cada pieza cerámica producida por esta fábrica, en metros cuadrados, es:
a) superior a 0,5.
b) mayor de 0,2 y menor de 0,5.
c) mayor de 0,09 y menor de 0,2.
d) mayor de 0,07 y menor de 0,09.
e) menos de 0,07.
Resolución: alternativa D
si D es la diagonal mayor y d es la diagonal menor, entonces:
\(d=\frac{1}{4}D\)
\(d=\frac{1}{4}\cdot84\)
\(p=21 cm\)
Aplicando la formula tenemos
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{D\veces d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{84\times21}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=882 cm²\)
Como 1 cm² corresponde a \(1\cdot{10}^{-4} m²\), entonces:
\(\frac{1\cm^2}{882\cm^2}=\frac{1\cdot{10}^{-4}\m^2}{x}\)
\(x=0.0882 m²\)
Por María Luisa Alves Rizzo
Profesora de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-do-losango.htm