Una de las técnicas utilizadas para resolver ecuaciones cuadráticas es el método conocido como cuadrados completos. Este método consiste en interpretar la ecuación del segundola licenciatura como uno trinomio cuadrado perfecto y escriba su forma factorizada. A veces, este sencillo procedimiento ya revela las raíces de la ecuación.
Por tanto, es necesario tener conocimientos básicos sobre productos notables, trinomiocuadradoPerfecto y factorización polinomial para utilizar esta técnica. Sin embargo, a menudo permite que los cálculos se realicen "en la cabeza".
Por tanto, recordaremos los tres casos de productosNotable antes de demostrar el métodocompletarcuadrícula, que, a su vez, se expondrá en tres casos diferentes.
Productos excepcionales y trinomios cuadrados perfectos
A continuación, vea el producto extraordinario, el trinomiocuadradoPerfecto que es equivalente a ella y la forma factorizado de este trinomio, respectivamente. Para hacerlo, considere que x es desconocido y La es cualquier número real.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(x - k)2 = x2 - 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
La ecuación del segundo grado referente al tercero productoNotable, conocido como el producto de la suma y la diferencia, se puede resolver mediante una técnica que facilita aún más los cálculos. Como resultado, no se considerará aquí.
La ecuación es el trinomio del cuadrado perfecto
Si uno ecuación del segundola licenciatura es un trinomio cuadrado perfecto, entonces puedes identificar sus coeficientes como: a = 1, b = 2k o - 2k y c = k2. Para comprobar esto, simplemente compare una ecuación cuadrática con una trinomiocuadradoPerfecto.
Por tanto, en la solución del ecuación del segundola licenciatura X2 + 2kx + k2 = 0, siempre tendremos la posibilidad de hacer:
X2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√ [(x + k)2] = √0
| x + k | = 0
x + k = 0
x = - k
- x - k = 0
x = - k
Por tanto, la solución es única e igual a –k.
Si ecuación ser x2 - 2kx + k2 = 0, podemos hacer lo mismo:
X2 - 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
√ [(x - k)2] = √0
| x - k | = 0
x - k = 0
x = k
- x + k = 0
- x = - k
x = k
Por tanto, la solución es única e igual a k.
Ejemplo: ¿Cuáles son las raíces de ecuación X2 + 16x + 64 = 0?
Tenga en cuenta que la ecuación es una trinomiocuadradoPerfecto, ya que 2k = 16, donde k = 8, y k2 = 64, donde k = 8. Entonces podemos escribir:
X2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = - 8
Aquí el resultado se ha simplificado, ya que sabemos que las dos soluciones serán iguales al mismo número real.
La ecuación no es un trinomio cuadrado perfecto.
En los casos en que el ecuación del segundola licenciatura no es un trinomio cuadrado perfecto, podemos considerar la siguiente hipótesis para calcular sus resultados:
X2 + 2kx + C = 0
Tenga en cuenta que para que esta ecuación se convierta en un trinomiocuadradoPerfecto, simplemente reemplace el valor de C con el valor de k2. Dado que esta es una ecuación, la única forma de hacerlo es sumar k2 en ambos miembros, luego intercambiando el coeficiente de miembro C. Mirar:
X2 + 2kx + C = 0
X2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
X2 + 2kx + k2 = k2 - C
Tras este procedimiento, podemos proceder con la técnica anterior, transformando el trinomiocuadradoPerfecto en un producto notable y calculando las raíces cuadradas en ambas extremidades.
X2 + 2kx + k2 = k2 - C
(x + k)2 = k2 - C
√ [(x + k)2] = √ (k2 - C)
x + k = ± √ (k2 - C)
El signo ± aparece siempre que el resultado de una ecuación es una raíz cuadrada, porque en estos casos el resultado de la raíz cuadrada es un módulo, como se muestra en el primer ejemplo. Finalmente, todo lo que queda es hacer:
x = - k ± √ (k2 - C)
Entonces, estos ecuaciones tener dos resultados verdadero y distinto, o ningún resultado real cuando C> k2.
Como ejemplo, calcula las raíces de x2 + 6x + 8 = 0.
Solución: Tenga en cuenta que 6 = 2 · 3x. Por tanto, k = 3 y por tanto k2 = 9. Por tanto, el número que debemos sumar en ambos miembros es igual a 9:
X2 + 6x + 8 = 0
X2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
X2 + 6x + 9 = 9 - 8
X2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x ’= 1-3 = - 2
x ’’ = - 1-3 = - 4
En cuyo caso el coeficiente a ≠ 1
cuando el coeficiente La, da ecuación del segundola licenciatura, es diferente de 1, simplemente divida la ecuación completa por el valor numérico del coeficiente La para luego aplicar uno de los dos métodos anteriores.
Entonces, en la ecuación 2x2 + 32x + 128 = 0, tenemos la raíz única igual a 8, porque:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
X2 + 16x + 64 = 0
Y, en la ecuación 3x2 + 18x + 24 = 0, tenemos las raíces - 2 y - 4, porque:
3 veces2 + 18 veces + 24 = 0
3 3 3 3
X2 + 6x + 8 = 0
Por Luiz Paulo Moreira
Licenciada en Matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-metodo-completar-quadrados.htm