La factorización de polinomios consiste en métodos desarrollados para reescribir un polinomio como un producto entre polinomios. Escribe el polinomio como multiplicación entre dos o más factores ayuda a simplificar expresiones algebraicas y comprender un polinomio.
Existen diferentes casos de factoring, y para cada uno de ellos existen técnicas específicas.. Los casos existentes son: factorización por factor común en evidencia, factorización por agrupación, diferencia entre dos cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, suma de dos cubos y diferencia de dos cubos.
Lea mas:¿Qué es polinomio?
Resumen sobre la factorización de polinomios
La factorización de polinomios son técnicas utilizadas para representar el polinomio como un producto entre polinomios.
Usamos esta factorización para simplificar expresiones algebraicas.
-
Los casos de factoraje son:
Factorización por factor común en evidencia;
Factorización por agrupación;
trinomio cuadrado perfecto;
diferencia de dos cuadrados;
suma de dos cubos;
diferencia de dos cubos.
Casos de Factorización de Polinomios
Para factorizar un polinomio, es necesario analizar en cuál de los casos de factoring encaja la situación, siendo: factorización por factor común en evidencia, factorización por agrupación, diferencia entre dos cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, suma de dos cubos y diferencia de dos cubos. Veamos cómo realizar la factorización en cada uno de ellos.
Factor común en evidencia
Usamos este método de factorización cuando hay un factor común a todos los términos del polinomio. Este factor común se destacará como un factor, y el otro factor, el resultado de la división de los términos por ese factor común, se colocará entre paréntesis.
Ejemplo 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Analizando cada término de este polinomio, es posible ver que x se repite en todos los términos. Además, todos los coeficientes (20, 12 y 8) son múltiplos de 4, por lo que el factor común a todos los términos es 4x.
Dividiendo cada término por el factor común, tenemos:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Ahora, escribiremos la factorización poniendo en evidencia el factor común y el suma de los resultados que se encuentran entre paréntesis:
4x (5y + 3x + 2y²)
Ejemplo 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Analizando la parte literal de cada término, es posible ver que a²b se repite en todos ellos. Tenga en cuenta que no hay ningún número que divida 2, 3 y – 4 al mismo tiempo. Así que el factor común será simplemente a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
4to5b³: a²b = 4a³
Así, la factorización de este polinomio será:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Vea también: Suma, resta y multiplicación de polinomios: entiende cómo se hacen
agrupamiento
Este método es se usa cuando no hay un factor común para todos los términos del polinomio. En este caso, identificamos términos que se pueden agrupar teniendo un factor común y los destacamos.
Ejemplo:
Factoriza el siguiente polinomio:
hacha + 4b + bx + 4a
Agrupamos los términos que tienen a y b como factor común:
hacha + 4a + bx + 4b
Poniendo a y b en evidencia en términos de dos por dos, tenemos:
a(x+4)+b(x+4)
Tenga en cuenta que dentro de los paréntesis los factores son los mismos, por lo que podemos reescribir este polinomio como:
(a + b) (x + 4)
trinomio cuadrado perfecto
Los trinomios son polinomios con 3 términos. Un polinomio se conoce como trinomio cuadrado perfecto cuando es resultado de suma al cuadrado o diferencia al cuadrado, o sea:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Importante: No siempre que haya tres términos este polinomio será un trinomio cuadrado perfecto. Por lo tanto, antes de realizar la factorización, se debe verificar si el trinomio se ajusta en este caso.
Ejemplo:
Factoriza, si es posible, el polinomio
x² + 10x + 25
Después de analizar este trinomio, extraeremos el raíz cuadrada primer y último término:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\raíz cuadrada{25}=5\)
Es importante verificar que el término central, es decir, 10x, es igual a \(2\cdot\ x\cdot5\). Tenga en cuenta que en realidad es lo mismo. Así que este es un trinomio cuadrado perfecto, que puede ser factorizado por:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
diferencia de dos cuadrados
Cuando tenemos una diferencia de dos cuadrados, podemos factorizar este polinomio reescribiéndolo como el producto de la suma y la diferencia.
Ejemplo:
Factoriza el polinomio:
4x² – 36y²
Primero, calcularemos la raíz cuadrada de cada uno de sus términos:
\(\raíz cuadrada{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Ahora, reescribiremos este polinomio como el producto de la suma y la diferencia de las raíces encontradas:
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
Lea también: Cálculo algebraico que involucra monomios: aprenda cómo ocurren las cuatro operaciones
suma de dos cubos
La suma de dos cubos, es decir, a³ + b³, se puede factorizar como:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Ejemplo:
Factoriza el polinomio:
x³ + 8
Sabemos que 8 = 2³, entonces:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
diferencia de dos cubos
La diferencia de dos cubos, es decir, a³ – b³, no muy diferente a la suma de dos cubos, se puede factorizar como:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Ejemplo:
Factoriza el polinomio
8x³ - 27
Lo sabemos:
8x³ = (2x)³
27 = 3³
Así que tenemos que:
\(8x^3-27=\izquierda (2x-3\derecha)\)
\(8x^3-27=\izquierda (2x-3\derecha)\izquierda (4x^2+6x+9\derecha)\)
Ejercicios resueltos de factorización de polinomios
Pregunta 1
Uso de la factorización de polinomios para simplificar la expresión algebraica \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), lo encontraremos:
a) x + 2
B) x - 2
C) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
mi) (x - 2) (x + 2)
Resolución:
Alternativa D
Mirando el numerador, vemos que x² + 4x + 4 es un caso de un trinomio cuadrado perfecto y se puede reescribir como:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
El numerador x² – 4 es la diferencia de dos cuadrados y se puede reescribir como:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Por lo tanto:
\(\frac{\izquierda (x+2\derecha)^2}{\izquierda (x+2\derecha)\izquierda (x-2\derecha)}\)
Nótese que el término x + 2 aparece tanto en el numerador como en el denominador, por lo que su simplificación viene dada por:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
Pregunta 2
(Instituto Unifil) Considerando que dos números, x e y, son tales que x + y = 9 y x² – y² = 27, el valor de x es igual a:
a) 4
segundo) 5
C) 6
D) 7
Resolución:
Alternativa C
Tenga en cuenta que x² – y² es la diferencia entre dos cuadrados y se puede factorizar como el producto de la suma y la diferencia:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Sabemos que x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27: 9
x - y = 3
Entonces podemos configurar un sistema de ecuaciones:
Sumando las dos líneas:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Por Raúl Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-de-polinomio.htm
