Razones trigonométricas: seno, coseno y tangente son relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo. Usando estas relaciones es posible determinar valores desconocidos de ángulos y medidas laterales.
Practique su conocimiento con los problemas resueltos.
preguntas sobre el seno
Pregunta 1
siendo el ángulo igual a 30 ° y la hipotenusa 47 m, calcular la medida de la altura los del triángulo.
La razón del seno trigonométrico es el cociente entre las medidas del lado opuesto del ángulo y la hipotenusa.
Aislar los por un lado de la igualdad, tenemos:
De una tabla trigonométrica, tenemos que el seno de 30 ° es igual a , sustituyendo en la ecuación:
Por tanto, la altura del triángulo es 23,50 m.
Pregunta 2
La vista superior de un parque muestra dos caminos para llegar al punto C desde el punto A. Una de las opciones es ir a B, donde hay bebederos y lugares de descanso, y luego a C. Si un visitante del parque quiere ir directamente a C, ¿cuántos metros habrá caminado menos que la primera opción?
Considere aproximaciones:
sin 58 ° = 0,85
cos 58 ° = 0,53
bronceado 58 ° = 1,60
Respuesta: saliendo de A y yendo derecho a C, el paseo es 7,54 m más corto.
Paso 1: calcula la distancia.
Paso 2: determina la distancia.
Paso 3: determina la distancia .
Paso 4: Determine la diferencia entre los dos caminos.
Pregunta 3
Se instaló un teleférico que conecta una base a la cima de una montaña. Para la instalación se utilizaron 1358 m de cables, dispuestos en un ángulo de 30 ° con respecto al suelo. ¿Qué altura tiene la montaña?
Respuesta correcta: la altura de la montaña es de 679 m.
Podemos usar la razón trigonométrica sinusoidal para determinar la altura de la montaña.
De una tabla trigonométrica, tenemos sen 30 ° = 0.5. Como el seno es la relación entre el lado opuesto y la hipotenusa, determinamos la altura.
pregunta 4
(CBM-SC, soldado-2010) Para ayudar a una persona en un apartamento durante un incendio, los bomberos utilizará una escalera de 30 m, que se colocará como se muestra en la figura siguiente, formando un ángulo con el suelo del 60. ¿Qué tan lejos está el apartamento del piso? (Utilice sen60º = 0,87; cos60º = 0,5 y tg60º = 1,73)
a) 15 m.
b) 26,1 m.
c) 34,48 m.
d) 51,9 m.
Respuesta correcta: b) 26,1 m.
Para determinar la altura, usaremos el seno de 60 °. Llamar a la altura hy usar un seno de 60 ° igual a 0.87.
Preguntas sobre el coseno
pregunta 5
El coseno es la relación entre el lado adyacente a un ángulo y la medida de la hipotenusa. Ser igual a 45 °, calcula la medida del cateto adyacente al ángulo alfa, en el triángulo de la figura.
considerar
Aproximación del valor de la raíz cuadrada de 2:
La medida del tramo adyacente es de aproximadamente 19,74 m.
pregunta 6
Durante un partido de fútbol, el jugador 1 lanza al jugador 2 en un ángulo de 48 °. ¿Qué distancia debe recorrer la pelota para alcanzar al jugador 2?
Considerar:
sin 48 ° = 0,74
cos 48 ° = 0,66
bronceado 48 ° = 1,11
Respuesta correcta: La pelota debe recorrer una distancia de 54,54 m.
La medida entre el jugador 1 y el jugador 2 es la hipotenusa del triángulo rectángulo.
El coseno del ángulo de 48 ° es la relación de su lado adyacente a la hipotenusa, donde el lado adyacente es la distancia entre el medio campo y el área grande.
52,5 - 16,5 = 36 m
Calcular el coseno, donde h es la hipotenusa.
pregunta 7
Se considera que un techo es a dos aguas cuando hay dos pendientes. En una obra, se está construyendo una cubierta donde el encuentro de sus dos aguas está exactamente en el medio de la losa. El ángulo de inclinación de cada agua con relación a la losa es de 30 °. La losa tiene 24 m de largo. Para ordenar las tejas incluso antes de que se complete la estructura que soportará el techo, es necesario conocer el largo de cada agua, que será:
Como la losa tiene 24 m de largo, cada agua tendrá 12 m.
Llamando a la longitud de cada agua de techo L, tenemos:
Racionalizar la fracción para obtener el número irracional del denominador.
Haciendo,
Por lo tanto, la longitud de cada agua del techo será de aproximadamente 13,6 m.
pregunta 8
La tangente es la relación entre el lado opuesto a un ángulo y su lado adyacente. siendo el ángulo igual a 60 °, calcula la altura del triángulo.
Preguntas tangentes
pregunta 9
Una persona quiere saber el ancho de un río antes de cruzarlo. Para ello, establece un punto de referencia en el otro borde, como un árbol por ejemplo (punto C). En la posición en la que se encuentra (punto B), camine 10 metros hacia la izquierda, hasta que se forme un ángulo de 30 ° entre el punto A y el punto C. Calcula el ancho del río.
considerar .
Para calcular el ancho del río que llamaremos L usaremos la tangente del ángulo .
pregunta 10
(Enem 2020) Pergolado es el nombre que se le da a un tipo de cubierta diseñada por arquitectos, comúnmente en plazas y
jardines, para crear un ambiente para personas o plantas, en el que haya una caída en la cantidad de luz,
dependiendo de la posición del sol. Está hecho como un palet de vigas iguales, colocado en paralelo y perfectamente
en una fila, como se muestra en la figura.
Un arquitecto diseña una pérgola con luces de 30 cm entre sus vigas, de modo que, en el
solsticio de verano, la trayectoria del sol durante el día se realiza en un plano perpendicular a la dirección de
rayos, y que el sol de la tarde, cuando sus rayos hacen 30 ° con la posición del alfiler, generan la mitad
de la luz que pasa en la pérgola al mediodía.
Para cumplir con la propuesta de proyecto elaborada por el arquitecto, las vigas de la pérgola deben ser
construido de modo que la altura, en centímetros, sea lo más cercana posible a
a) 9.
b) 15.
c) 26.
d) 52.
e) 60.
Respuesta correcta: c) 26.
Para comprender la situación, hagamos un esquema.
La imagen de la izquierda muestra la incidencia de la luz solar al mediodía, con un 100%. La imagen de la izquierda es la que nos interesa. Permite que solo el 50% de los rayos del sol atraviesen la pérgola con una pendiente del 30%.
Usamos la razón trigonométrica tangente. La tangente de un ángulo es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.
Llamando h a la altura de la pieza de pérgola, tenemos:
Haciendo una tangente de 30 ° =
Racionalicemos la última fracción para no dejar la raíz de tres, un número irracional, en el denominador.
Haciendo,
De las opciones disponibles para la pregunta, la más cercana es la letra c, la altura de las vigas debe ser aproximadamente de 26cm.
pregunta 11
(Enem 2010) Un globo atmosférico, lanzado en Bauru (343 kilómetros al noroeste de São Paulo), de noche el domingo pasado, cayó este lunes en Cuiabá Paulista, en la región de Presidente Prudente, amedrentador
agricultores de la región. El artefacto es parte del programa Hibiscus Project, desarrollado por Brasil, Francia,
Argentina, Inglaterra e Italia, para medir el comportamiento de la capa de ozono, y se produjo su descenso
después del cumplimiento del tiempo de medición esperado.
En la fecha del evento, dos personas vieron el globo. Uno estaba a 1,8 km de la posición vertical del globo.
y lo vi en un ángulo de 60 °; el otro estaba a 5,5 km de la posición vertical del globo, alineado con el
primero, y en la misma dirección, como se ve en la figura, y lo vi en un ángulo de 30 °.
¿Cuál es la altura aproximada del globo?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 kilometros
d) 3,7 km
e) 5,5 km
Respuesta correcta: c) 3,1 km
Usamos la tangente de 60 ° que es igual . La tangente es la relación trigonométrica entre el lado opuesto del ángulo y el adyacente.
Por tanto, la altura del globo fue de aproximadamente 3,1 km.
