Binomio de Newton es cualquier binomio elevado a un número No en que No es un número natural. Gracias a los estudios del físico Isaac Newton sobre los poderes de los binomios, era posible comprobar regularidades que facilitan la representación del polinomio generado a partir del poder de un binomio.
Al observar estas regularidades, también se hizo posible encuentra solo uno de los términos de polinomio, sin tener que calcularlo todo, utilizando la fórmula del término general de un binomio. Además, Newton notó una relación entre el análisis combinatorioa y los binomios de Newton, lo que hizo que el Triángulo de Pascal una gran herramienta para el desarrollo más práctico de un binomio de Newton.
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Definición del binomio de Newton
Definimos como binomio elpolinomio que tiene dos términos. En algunas aplicaciones en Matemáticas y Física, es necesario calcular las potencias de un binomio. Para facilitar el proceso, Isaac Newton notó importantes regularidades
que nos permiten encontrar el polinomio que resulta de la potencia de un binomio.
En algunos casos, el cálculo es bastante simple: simplemente realice el multiplicación del binomio por sí mismo usando la propiedad distributiva. Hasta una potencia del orden 3, desarrollamos sin mucho esfuerzo, ya que son los conocidos productos notables, pero para potencias superiores, calcule a partir de la multiplicación del término por sí mismo No a veces es mucho trabajo.
Ejemplos de
Recuerde que todo número elevado a cero es igual a 1 y que todo número elevado a 1 es él mismo, lo que también es cierto para los binomios.
Newton notó un relación entre los coeficientes de cada uno de los términos y la combinación, que permitió el cálculo de la potencia de un binomio más directamente a partir de la siguiente fórmula:
Entendiendo la fórmula:
Primero veamos la parte literal de cada término, que es la letra con su exponente. Tenga en cuenta que, para cada término, el exponente de “a ”fue decreciente, comenzando en n, luego pasando a n - 1, y así sucesivamente hasta llegar a 1 en el penúltimo término y 0 en el último término (lo que hace que la letra“ a ”ni siquiera aparezca en el último término).
identificando La y sus exponentes:
Ahora analicemos los exponentes de "b", que siempre están aumentando, comenzando con 0 en el primer término (el lo que hace que la letra b no aparezca en el primer término), 1 en el segundo término, y así sucesivamente hasta que sea igual La Noen el último trimestre.
identificando B y sus exponentes:
Entendiendo la parte literal, vamos analizar los coeficientes, que son todas combinaciones de No elementos tomados de 0 a 0, 1 a 1, 2 a 2, y así sucesivamente hasta el último término, que es la combinación de No elementos tomados de No en No.
Cabe señalar que es importante dominar el cálculo de combinaciones para poder encontrar los coeficientes. Recuerda, para calcular combinaciones, tenemos que:
La respuesta combinada es siempre una número natural.
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Ejemplo: Calcule el binomio de Newton (a + b) elevado a la cuarta potencia.
1er paso: escribe el polinomio usando la fórmula.
2do paso: calcular las combinaciones.
Reemplazando las combinaciones, el polinomio encontrado será:
Puede ver que resolver casos como este sigue siendo laborioso, dependiendo del exponente, pero aún así es más rápido que calcular utilizando la propiedad distributiva. Una herramienta que puede ayudar con este cálculo es el triángulo de Pascal.
Triángulo de Pascal
El triángulo de Pascal fue desarrollado por Blaise Pascal durante el estudio de combinaciones. Él es una forma que facilita el cálculo de combinaciones. El uso del triángulo de Pascal hace que sea más rápido y más fácil encontrar los coeficientes de las partes literales de un binomio de Newton sin tener que calcular todas las combinaciones.
Para construir el triángulo de Pascal directamente, recordemos dos situaciones en las que el cálculo de la combinación es igual a 1.
Por lo tanto, el primer y último término de todas las líneas son siempre iguales a 1. Los términos centrales se construyen a partir de la suma del término anterior más su vecino de la columna anterior, como en la siguiente representación:
Para construir las siguientes líneas, recuerde que el primer término es 1 y el último también. Entonces basta con hacer las sumas para descubrir los términos centrales.
También acceda a: Teorema de descomposición polinomial
Ejemplo: Calcula (a + b) elevado a la sexta potencia.
1er paso: aplica la fórmula del binomio.
2do paso: construye el triángulo de Pascal hasta la sexta línea.
3er paso: reemplace las combinaciones con los valores en la línea 6, que son los coeficientes de cada uno de los términos del binomio.
Lo que determina el número de líneas que vamos a construir a partir del binomio es el valor de n. Es importante recordar que la primera línea es cero.
Término general binomial de Newton
El término binomio general de Newton es una fórmula que nos permite calcular un término del binomio sin tener que desarrollar el polinomio completo, es decir, podemos identifique cualquiera de los términos del primero al último. Con la fórmula calculamos directamente el término que buscamos.
La: Primer periodo
B: segundo período
norte: exponente
p + 1: término de búsqueda
Ejemplo: Encuentra el undécimo término del binomio (a + b)12.
Resolución:
Vea también: Demostraciones a través de de cálculo algebraico
Ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (Cesgranrio) El coeficiente de x4 en el polinomio P (x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Resolución
Queremos encontrar un término específico al resolver el binomio; para eso, necesitamos encontrar el valor de p.
Sabemos que el primer término en este caso es igual ax, entonces n - p = 4, como n = 6, tenemos:
Por tanto, el coeficiente es 60 (alternativa B).
Pregunta 2 - (Unifor) Si el término central del desarrollo binomial (4x + ky)10 para 8064x5y5, entonces la alternativa que corresponda al valor de k será:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Resolución: Sabemos que el término central tiene coeficientes iguales (p = 5). Encontremos el sexto término, ya que p + 1 = 6. Además, tenemos que a = 4x; b = ky y n = 10, entonces:
Alternativa D.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm