Sabemos que las órbitas de los planetas son elípticas, sin embargo, para el deducción de la tercera ley de Kepler, consideremos una órbita circular. Aunque la siguiente demostración se basa en órbitas circulares, los resultados también son válidos para órbitas elípticas.
En la figura tenemos un planeta orbitando alrededor del Sol. La fuerza centrípeta (Fc) es una fuerza de atracción gravitacional ejercida por el sol. Se desprecian las fuerzas de atracción ejercidas entre planetas y satélites, esto se debe a que sus masas son mucho más pequeñas que la masa del Sol.
Como el planeta de la masametro) orbita alrededor del Sol, en un movimiento circular y con velocidad angular (), la fuerza resultante sobre el planeta, denominada fuerza centrípeta (Fc), viene dada por:
FC= mω2 r
En que:
FC:fuerza centrípeta;
m: masa del planeta;
ω: velocidad angular del planeta;
r: radio de la órbita del planeta.
La velocidad angular viene dada por:
En que:
T: período de revolución en el planeta.
Sustituyendo la ecuación 2 en la ecuación 1, tenemos:
Tenga en cuenta que la fuerza centrípeta es la fuerza gravitacional de atracción entre el Sol y el planeta. Por lo tanto, considerando la masa del Sol como (M) y el radio de la órbita del planeta como (r), que es la distancia entre el Sol y el Planeta, la Ley de la Gravitación Universal se puede escribir de la siguiente manera:
En que:
Al equiparar la ecuación 3 con 4, tendremos:
Pronto:
Mire la ecuación 5 y observe que el término 
es constante, ya que las incógnitas se refieren a la constante universal y la masa del sol, por lo que la ecuación se puede reescribir de la siguiente manera:
T2= kr3
En que:
k: constante de proporcionalidad.
La ecuación 6 nos dice que el cuadrado del período de revolución de un planeta alrededor del Sol es directamente proporcional al cubo de la distancia entre ellos.
Mediante la ecuación anterior podemos sacar la conclusión de que cuanto más lejos está el planeta del Sol, más largo es su período de revolución.
La Tercera Ley de Kepler, que acabamos de deducir, también es válida en relación con la Tierra para el movimiento de la Luna y los satélites artificiales.
Por Nathan Augusto
Licenciada en Física
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/fisica/deducao-terceira-lei-kepler.htm