Considere un arco de la circunferencia trigonométrica que mide 45 °, su arco doble es un arco de 90 °, pero esto no es significa que el valor de las funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) del arco doble es el doble que el del arco, por ejemplo:
Si el arco es igual a 30 °, su arco doble será de 60 °. Sin 30 ° = 1/2, sin 60 ° = √3 / 2, entonces vemos que aunque 60 ° es doble 30 °, sin 60 ° no es doble sin 30 °. Podemos aplicar esta misma situación con varios otros arcos y funciones trigonométricas, sin embargo llegaremos a la misma conclusión.
En general, considere cualquier arco de medida β, su arco doble será 2β, por lo tanto, sin β ≠ sin 2β, es decir, sin 2β ≠ 2. sin β.
Así, para encontrar el valor de las funciones trigonométricas de un arco doble (sen 2β, cos 2β y tg 2β) tendremos que seguir algunas relaciones, entre un arco β y su arco doble 2β.
Estas relaciones se realizarán a través del funciones trigonométricas de suma de arco. Ver cómo:
• Cos 2β
Según la suma de arcos, cos 2β es igual a:
cos 2β = cos (β + β) = cos β. cos β - sen β. pecado β
Uniendo los términos similares tendremos:
cos 2β = cos (β + β) = cos2 β - pecado2 β
Por tanto, el cálculo de cos 2β se realizará mediante la siguiente fórmula:
cos 2β = cos2 β - pecado2 β
• Sen 2β
Según la suma de arcos, sen 2β es igual a:
Sen 2β = sen (β + β) = sen β. cos β + sen β. cos β
Poniendo en evidencia términos similares tendremos:
Sen 2β = sen (β + β) = 2. sin β. cos β
Por tanto, el cálculo de sen 2β se realizará mediante la siguiente fórmula:
Sen 2β = 2. sin β. cos β
• tg 2β
Según la suma de arcos, tg 2β es igual a:
tg 2β = tg (β + β) = tg β + tg β
1 - tg x. tg β
Uniendo los términos similares tendremos:
tg 2β = tg (β + β) = 2 tgβ
1 - tg2β
Por tanto, el cálculo de tg 2β se realizará mediante la siguiente fórmula:
tg 2β = 2 tgβ
1 - tg2β
por Danielle de Miranda
Licenciada en Matemáticas
Equipo Escolar de Brasil
Trigonometría - Matemáticas - Escuela Brasil
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-trigonometricas-arco-duplo.htm