Función exponencial: 5 ejercicios comentados

LA funcion exponencial es cada función de ℝ en ℝ^*_+, definido por f (x) = a^X, donde a es un número real, mayor que cero y no igual a 1.

Aprovecha los ejercicios comentados para despejar todas tus dudas sobre este contenido y asegúrate de comprobar tus conocimientos en las preguntas resueltas de los concursos.

Ejercicios comentados

Ejercicio 1

Un grupo de biólogos está estudiando el desarrollo de una colonia particular de bacterias y encontró que en condiciones ideales, el número de bacterias se puede encontrar a través de la expresión N (t) = 2000. 2^{0,5 t}, siendo t en horas.

Considerando estas condiciones, ¿cuánto tiempo después del inicio de la observación el número de bacterias será igual a 8192000?

Solución

En la situación propuesta, conocemos el número de bacterias, es decir, sabemos que N (t) = 8192000 y queremos encontrar el valor de t. Entonces, simplemente reemplace este valor en la expresión dada:

Para resolver esta ecuación, escribamos el número 4096 en factores primos, porque si tenemos la misma base, podemos igualar los exponentes. Por lo tanto, factorizando el número, tenemos:

Así, el cultivo tendrá 8 192 000 bacterias después de 1 día (24 h) desde el inicio de la observación.

Ejercicio 2

Los materiales radiactivos tienen una tendencia natural, con el tiempo, a desintegrar su masa radiactiva. El tiempo que tarda la mitad de su masa radiactiva en desintegrarse se llama vida media.

La cantidad de material radiactivo de un elemento dado viene dada por:

Ser,

N (t): la cantidad de material radiactivo (en gramos) en un tiempo determinado.
norte₀: la cantidad inicial de material (en gramos)
T: tiempo de vida media (en años)
t: tiempo (en años)

Considerando que la vida media de este elemento es igual a 28 años, determine el tiempo necesario para que el material radiactivo se reduzca al 25% de su cantidad inicial.

Solución

Para la situación propuesta A (t) = 0.25 A₀ = 1/4 A₀, entonces podemos escribir la expresión dada, reemplazando T por 28 años, luego:

Por lo tanto, se necesitarán 56 años para que la cantidad de material radiactivo se reduzca en un 25%..

Preguntas del concurso

1) Unesp - 2018

El ibuprofeno es un medicamento recetado para el dolor y la fiebre, con una vida media de aproximadamente 2 horas. Esto significa que, por ejemplo, después de 2 horas de ingerir 200 mg de ibuprofeno, solo quedarán 100 mg del medicamento en el torrente sanguíneo del paciente. Después de otras 2 horas (4 horas en total), solo 50 mg permanecerán en el torrente sanguíneo y así sucesivamente. Si un paciente recibe 800 mg de ibuprofeno cada 6 horas, la cantidad de este medicamento que permanecerá en el torrente sanguíneo durante la decimocuarta hora después de tomar la primera dosis será

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Ver respuesta

Como la cantidad inicial de medicación en el torrente sanguíneo cada 2 horas se divide por la mitad, podemos representar esta situación utilizando el siguiente esquema:

Tenga en cuenta que el exponente, en cada situación, es igual al tiempo dividido por 2. Así, podemos definir la cantidad de medicamento en el torrente sanguíneo en función del tiempo, utilizando la siguiente expresión:

Ser

Q (t): la cantidad en una hora determinada
Q₀: la cantidad inicial ingerida
t: tiempo en horas

Teniendo en cuenta que se tomaron 800 mg de ibuprofeno cada 6 h, tenemos:

Para encontrar la cantidad de medicamento en el torrente sanguíneo 14 horas después de la ingestión de la 1ª dosis, debemos sumar las cantidades referidas a la 1ª, 2ª y 3ª dosis. Calculando estas cantidades, tenemos:

La cantidad de la 1a dosis se hallará considerando el tiempo igual a 14 h, por lo que tenemos:

Para la segunda dosis, como se muestra en el diagrama anterior, el tiempo fue de 8 horas. Reemplazando este valor, tenemos:

El tiempo para la 3ª dosis será de solo 2 horas. La cantidad relacionada con la tercera dosis será entonces:

Ahora que conocemos las cantidades de cada dosis ingerida, podemos encontrar la cantidad total sumando cada una de las cantidades encontradas:

Q_total= 6.25 + 50 + 400 = 456.25 mg

Alternativa b) 456,25 mg

2) UERJ - 2013

Un lago utilizado para abastecer a una ciudad se contaminó después de un accidente industrial, alcanzando el nivel de toxicidad T₀, correspondiente a diez veces el nivel inicial.
Lea la información a continuación.

• El caudal natural del lago permite renovar el 50% de su volumen cada diez días.
• El nivel de toxicidad T (x), después de x días del accidente, se puede calcular utilizando la siguiente ecuación:

Considere D el menor número de días de suspensión del suministro de agua, necesarios para que la toxicidad vuelva al nivel inicial.
Si log 2 = 0.3, el valor de D es igual a:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Ver respuesta

Para volver al nivel de toxicidad inicial es necesario que:

Sustituyendo este valor en la función dada, tenemos:

Multiplicando en "cruz", la ecuación se convierte en:

2 ^{0,1 veces}= 10

Apliquemos el logaritmo en base 10 a ambos lados para convertirlo en una ecuación de primer grado:

registro (2^{0,1 veces}) = log 10

Recordando que el logaritmo de 10 en base 10 es igual a 1, nuestra ecuación se verá así:

0,1x. log 2 = 1

Considerando que log 2 = 0.3 y sustituyendo este valor en la ecuación:

Así, el menor número de días, aproximadamente, que se debe suspender el suministro es de 34 días.

Alternativa c) 34

3) Fuvesp - 2018

Sea f: ℝ → ℝ y g: ℝ₊ → ℝ definido por

respectivamente.

La gráfica de la función compuesta g_ºfe:

Ver respuesta

El gráfico que está buscando es la función compuesta g_ºf, por lo tanto, el primer paso es determinar esta función. Para ello, debemos reemplazar la función f (x) en la x de la función g (x). Al hacer este reemplazo, encontraremos:

Usando la propiedad del logaritmo del cociente y una potencia, tenemos:

Tenga en cuenta que la función que se encuentra arriba es de tipo ax + b, que es una función afín. Entonces tu gráfica será una línea recta.

Además, la pendiente a es igual a log₁₀ 5, que es un número positivo, por lo que la gráfica aumentará. De esta forma, podemos eliminar las opciones b, cy e.

Nos quedan las opciones ayd, sin embargo, cuando x = 0 tenemos gof = - log₁₀ 2 que es un valor negativo como se representa en el gráfico a.

Alternativa a)

4) Unicamp - 2014

El siguiente gráfico muestra la curva de potencial biótico q (t) para una población de microorganismos en el tiempo t.

Dado que ayb son constantes reales, la función que puede representar este potencial es

a) q (t) = en + b
b) q (t) = ab^t
c) q (t) = en² + bt
d) q (t) = a + log _B t

Ver respuesta

A partir de la gráfica que se muestra, podemos identificar que cuando t = 0, la función es igual a 1000. Además, también es posible observar que la función no es afín, ya que la gráfica no es una línea recta.

Si la función fuera de tipo q (t) = en²+ bt, cuando t = 0, el resultado sería igual a cero y no a 1000. Entonces tampoco es una función cuadrática.

Cómo iniciar sesión_B0 no está definido, ni podría tener como respuesta la función q (t) = a + log_Bt.

Así, la única opción sería la función q (t) = ab^t. Considerando t = 0, la función será q (t) = a, como a es un valor constante, es suficiente que sea igual a 1000 para que la función se ajuste a la gráfica dada.

Alternativa b) q (t) = ab^t

5) Enem (PPL) - 2015

El sindicato de trabajadores de una empresa sugiere que el piso salarial de la clase sea de R $ 1.800,00, proponiendo un incremento porcentual fijo por cada año dedicado al trabajo. La expresión que corresponde a la (s) propuesta (s) salarial (es), en función del tiempo de servicio (t), en años, es s (t) = 1800. (1,03)^t .

Según propuesta del sindicato, el salario de un profesional de esta empresa con 2 años de servicio será, en reales,

a) 7 416,00
b) 3.819,24
c) 3.709,62
d) 3.708,00
e) 1.909,62.

Ver respuesta

La expresión para calcular el salario en función del tiempo propuesta por el sindicato corresponde a una función exponencial.

Para encontrar el valor del salario en la situación indicada, calculemos el valor de s, cuando t = 2, como se indica a continuación:

s (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Alternativa e) 1 909,62

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