La trigonometría es un tema importante en Matemáticas que permite conocer los lados y ángulos de un triángulo rectángulo, a través del seno, coseno y tangente, además de otras funciones trigonométricas.
Para mejorar sus estudios y ampliar sus conocimientos, siga la lista de 8 ejercicios, más 4 preguntas del examen de ingreso, todo resuelto paso a paso.
Ejercicio 1
Al observar por la mañana la sombra de un edificio en el suelo, una persona descubrió que medía 63 metros cuando los rayos del sol formaban un ángulo de 30 ° con la superficie. Con base en esta información, calcule la altura del edificio.
Respuesta correcta: Aproximadamente 36,37 m.
El edificio, la sombra y el rayo de sol determinan un triángulo rectángulo. Usando el ángulo de 30 ° y la tangente, podemos determinar la altura del edificio.
Dado que la altura del edificio es h, tenemos:
Ejercicio 2
En una circunferencia con un diámetro de 3, un segmento AC, llamado cuerda, forma un ángulo de 90 ° con otra cuerda CB de la misma longitud. ¿Cuál es la medida de las cuerdas?
Respuesta correcta: La longitud de la cuerda es de 2,12 cm.
Como los segmentos AC y CB forman un ángulo de 90 ° y tienen la misma longitud, el triángulo formado es isósceles y los ángulos de la base son iguales.
Dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180 ° y ya tenemos un ángulo de 90 °, quedan otros 90 ° para dividir equitativamente entre los dos ángulos base. Así, el valor de estos es igual a 45º cada uno.
Dado que el diámetro es igual a 3 cm, el radio es de 1,5 cm y podemos usar el coseno de 45 ° para determinar la longitud de la cuerda.
Ejercicio 3
Un ciclista que participa en un campeonato se acerca a la meta en lo alto de una pendiente. La longitud total de esta última parte del ensayo es de 60 my el ángulo formado entre la rampa y la horizontal es de 30 °. Sabiendo esto, calcule la altura vertical que el ciclista necesita subir.
Respuesta correcta: La altura será de 30 m.
Llamando a la altura h, tenemos:
Ejercicio 4
La siguiente figura está formada por tres triángulos donde la altura h determina dos ángulos rectos. Los valores de los elementos son:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Determina el valor de a + b.
Respuesta correcta:
Podemos determinar las medidas de los segmentos ayb usando las tangentes de los ángulos dados.
Cálculo de a:
Cálculo de b:
Así,
Ejercicio 5
Un avión despegó de la ciudad A y voló 50 km en línea recta hasta aterrizar en la ciudad B. Posteriormente, voló otros 40 km, esta vez en dirección a la ciudad D. Estas dos rutas forman un ángulo de 90 ° entre sí. Sin embargo, debido a las desfavorables condiciones meteorológicas, el piloto recibió una comunicación de la torre de control informándole que no podía aterrizar en la ciudad D y que debía regresar a la ciudad A.
Para hacer el cambio de sentido desde el punto C, ¿el piloto tendría que hacer un giro de cuántos grados a la derecha?
Considerar:
sin 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
tan 51 ° = 1,25
Respuesta correcta: El piloto debe realizar un giro de 129 ° a la derecha.
Analizando la figura, vemos que el camino forma un triángulo rectángulo.
Llamemos al ángulo que estamos buscando W. Los ángulos W y Z son suplementarios, es decir, forman un ángulo poco profundo de 180 °.
Por tanto, W + Z = 180 °.
W = 180 - Z (ecuación 1)
Nuestra tarea ahora es determinar el ángulo Z y, para eso, usaremos su tangente.
Debemos preguntarnos: ¿Cuál es el ángulo cuya tangente es 1,25?
El problema nos da estos datos, tan 51 ° = 1,25.
Este valor también se puede encontrar en una tabla trigonométrica o con una calculadora científica, usando la función:
Sustituyendo el valor de Z en la ecuación 1, tenemos:
Ancho = 180 ° - 51 ° = 129 °
Ejercicio 6
Un rayo de luz monocromática al pasar de un medio a otro, sufre una desviación hacia él. Este cambio en su propagación está relacionado con los índices de refracción de los medios, como se muestra en la siguiente relación:
Ley de Snell - Descartes
Donde iyr son los ángulos de incidencia y refracción y, n1 y n2, los índices de refracción de las medias 1 y 2.
Al golpear la superficie de separación entre el aire y el vidrio, un rayo de luz cambia su dirección, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el índice de refracción del vidrio?
Datos: índice de refracción del aire igual a 1.
Respuesta correcta: el índice de refracción del vidrio es igual a .
Reemplazando los valores que tenemos:
Ejercicio 7
Para arrastrar un tronco de madera a su taller, un cerrajero ató una cuerda al tronco y tiró de él tres metros a lo largo de una superficie horizontal. Una fuerza de 40 N a través de la cuerda formaba un ángulo de 45 ° con la dirección de desplazamiento. Calcula el trabajo de la fuerza aplicada.
Respuesta correcta: El trabajo realizado es de aproximadamente 84,85 J.
El trabajo es una cantidad escalar obtenida por el producto de la fuerza y el desplazamiento. Si la fuerza no tiene la misma dirección que el desplazamiento, debemos descomponer esta fuerza y considerar solo la componente en esta dirección.
En este caso, debemos multiplicar la magnitud de la fuerza por el coseno del ángulo.
Entonces tenemos:
Ejercicio 8
Entre dos montañas, los habitantes de dos pueblos tuvieron que recorrer un camino difícil de arriba a abajo. Para resolver la situación, se decidió que se construiría un puente atirantado entre las aldeas A y B.
Sería necesario calcular la distancia entre los dos pueblos por la línea recta sobre la que se estiraría el puente. Como los residentes ya conocían la altura de las ciudades y los ángulos de ascenso, se pudo calcular esta distancia.
Con base en el diagrama a continuación y sabiendo que la altura de las ciudades era de 100 m, calcule la longitud del puente.
Respuesta correcta: El puente debe tener una longitud aproximada de 157,73 m.
La longitud del puente es la suma de los lados adyacentes a los ángulos dados. Llamando a la altura h, tenemos:
Cálculo con el ángulo de 45 °
Cálculo con un ángulo de 60 °
Para determinar la longitud del puente, sumamos los valores obtenidos.
Pregunta 1
Cefet - SP
En el triángulo ABC de abajo, CF = 20 cm y BC = 60 cm. Marque las medidas de los segmentos AF y BE respectivamente.
a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5
Respuesta: b) 10, 20
Para determinar la FA
Observamos que AC = AF + CF, por lo que tenemos que:
AF = AC - CF (ecuación 1)
La CF viene dada por el problema, que es igual a 20 cm.
La CA se puede determinar utilizando un seno de 30 °.
El problema proporciona BC, que es igual a 60 cm.
Sustituyendo en la ecuación 1, tenemos:
Para determinar BE
Primera observación:
Verificamos que la figura dentro del triángulo es un rectángulo, debido a los ángulos rectos determinados en la figura.
Por tanto, sus lados son paralelos.
Segunda observación:
El segmento BE forma un triángulo rectángulo con un ángulo de 30 ° donde: la altura es igual a AF, que acabamos de determinar, y BE es la hipotenusa.
Haciendo el cálculo:
Usamos el seno de 30 ° para determinar BE
Pregunta 2
EPCAR-MG
Un avión despega del punto B con una inclinación constante de 15 ° con respecto a la horizontal. A 2 km de B está la proyección vertical C del punto más alto D de una cordillera de 600 m de altura, como se muestra en la figura.
Datos: cos 15 ° = 0,97; sen 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27
Es correcto decir que:
a) El avión no chocará con la sierra antes de alcanzar los 540 m de altura.
b) Habrá una colisión entre el avión y la sierra a una altura de 540 m.
c) El avión chocará con la sierra en D.
d) Si el avión despega 220 m antes de B, manteniendo la misma inclinación, no habrá colisión del avión con la sierra.
Respuesta: b) Habrá una colisión entre el avión y la sierra a una altura de 540 m.
Primero, es necesario utilizar el mismo múltiplo de la unidad de medida de longitud. Por tanto, iremos 2 km hasta los 2000 m.
Siguiendo las mismas condiciones iniciales de vuelo, podemos predecir la altura a la que estará el avión en la proyección vertical del punto C.
Usando la tangente de 15 ° y definiendo la altura como h, tenemos:
Pregunta 3
ENEM 2018
Para decorar un cilindro circular recto se utilizará una tira rectangular de papel transparente, sobre la que se dibuja en negrita una diagonal que forma 30 ° con el borde inferior. El radio de la base del cilindro mide 6 / π cm, y al enrollar la tira se obtiene una línea en forma de hélice, como se muestra en la figura.
El valor de la medida de la altura del cilindro, en centímetros, es:
a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72
Respuesta: b) 24√3
Observando la figura notamos que se realizaron 6 vueltas alrededor del cilindro. Al tratarse de un cilindro recto, en cualquier punto de su altura tendremos un círculo como base.
Calcular la medida de la base del triángulo.
La longitud de un círculo se puede obtener de la fórmula:
Donde r es el radio e, igual a ,tenemos:
¿Cómo son 6 vueltas?
Podemos usar el bronceado de 30 ° para calcular la altura.
pregunta 4
ENEM 2017
Los rayos de luz solar llegan a la superficie de un lago en un ángulo X con su superficie, como se muestra en la figura.
Bajo ciertas condiciones, se puede suponer que la intensidad luminosa de estos rayos, en la superficie del lago, viene dada aproximadamente por I (x) = k. sin (x), siendo k una constante y suponiendo que X está entre 0 ° y 90 °.
Cuando x = 30º, ¿a qué porcentaje de su valor máximo se reduce la intensidad luminosa?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Respuesta: B) 50%
Reemplazando el valor del seno de 30 ° en la función, obtenemos:
Habiendo reducido el valor de k a la mitad, la intensidad es del 50%.
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