El teorema de Pitágoras indica que, en un triángulo rectángulo, la medida de la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.
Aprovecha los ejercicios resueltos y comentados para dar respuesta a todas tus dudas sobre este importante contenido.
Ejercicios propuestos (con resolución)
Pregunta 1
Carlos y Ana salieron de casa para trabajar desde el mismo punto, el garaje del edificio donde viven. Después de 1 min, recorriendo un camino perpendicular, estaban separados por 13 m.
Si el coche de Carlos hizo 7 m más que el de Ana durante ese tiempo, ¿a qué distancia estaban del garaje?
a) Carlos estaba a 10 m del garaje y Ana a 5 m.
b) Carlos estaba a 14 m del garaje y Ana a 7 m.
c) Carlos estaba a 12 m del garaje y Ana a 5 m.
d) Carlos estaba a 13 m del garaje y Ana a 6 m.
Respuesta correcta: c) Carlos estaba a 12 m del garaje y Ana a 5 m.
Los lados del triángulo rectángulo formado en esta pregunta son:
- hipotenusa: 13 m
- pierna más grande: 7 + x
- pierna más corta: x
Aplicando los valores del teorema de Pitágoras, tenemos:
Ahora aplicamos la fórmula de Bhaskara para encontrar el valor de x.
Como es una medida de longitud, debemos utilizar el valor positivo. Por lo tanto, los lados del triángulo rectángulo formado en esta pregunta son:
- hipotenusa: 13 m
- pierna más larga: 7 + 5 = 12 m
- pierna más corta: x = 5 m
Así, Ana estaba a 5 metros del garaje y Carlos a 12 metros.
Pregunta 2
Carla al buscar a su gatito lo vio encima de un árbol. Luego le pidió ayuda a su madre y colocaron una escalera junto al árbol para ayudar al gato a bajar.
Sabiendo que el gato estaba a 8 metros del suelo y la base de la escalera estaba colocada a 6 metros del árbol, ¿cuánto tiempo se usó la escalera para salvar al gatito?
a) 8 metros.
b) 10 metros.
c) 12 metros.
d) 14 metros.
Respuesta correcta: b) 10 metros.
Tenga en cuenta que la altura a la que se encuentra el gato y la distancia a la que se ha colocado la base de la escalera forman un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados. Como la escalera se coloca opuesta al ángulo recto, entonces su longitud corresponde a la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Aplicando los valores dados en el teorema de Pitágoras descubrimos el valor de la hipotenusa.
Por tanto, la escalera tiene 10 metros de largo.
Pregunta 3
De acuerdo con las medidas presentadas en las alternativas siguientes, ¿cuál presenta los valores de un triángulo rectángulo?
a) 14 cm, 18 cm y 24 cm
b) 21 cm, 28 cm y 32 cm
c) 13 cm, 14 cm y 17 cm
d) 12 cm, 16 cm y 20 cm
Respuesta correcta: d) 12 cm, 16 cm y 20 cm.
Para saber si las medidas presentadas forman un triángulo rectángulo debemos aplicar el teorema de Pitágoras a cada alternativa.
a) 14 cm, 18 cm y 24 cm
b) 21 cm, 28 cm y 32 cm
c) 13 cm, 14 cm y 17 cm
d) 12 cm, 16 cm y 20 cm
Por tanto, las medidas 12 cm, 16 cm y 20 cm corresponden a los lados de un triángulo rectángulo, ya que el cuadrado de la hipotenusa, el lado más largo, es igual a la suma del cuadrado de los catetos.
pregunta 4
Tenga en cuenta las siguientes figuras geométricas, que tienen un lado ubicado en la hipotenusa de un triángulo rectángulo que mide 3 m, 4 my 5 m.
Encuentre la altura (h) del triángulo equilátero BCD y el valor diagonal (d) del cuadrado BCFG.
a) h = 4,33 myd = 7,07 m
b) h = 4,72 myd = 8,20 m
c) h = 4,45 myd = 7,61 m
d) h = 4,99 my d = 8,53 m
Respuesta correcta: a) h = 4,33 my d = 7,07 m.
Como el triángulo es equilátero, significa que sus tres lados tienen la misma medida. Al dibujar una línea que corresponda a la altura del triángulo, lo dividimos en dos triángulos rectángulos.
Lo mismo ocurre con el cuadrado. Cuando dibujamos su línea diagonal, podemos ver dos triángulos rectángulos.
Aplicando los datos del enunciado del teorema de Pitágoras, descubrimos los valores de la siguiente manera:
1. Cálculo de la altura del triángulo (cateto del triángulo rectángulo):
Luego llegamos a la fórmula para calcular la altura. Ahora, simplemente sustituya el valor de L y calcúlelo.
2. Cálculo de la diagonal del cuadrado (hipotenusa del triángulo rectángulo):
Por lo tanto, la altura del triángulo equilátero BCD es 4.33 y el valor diagonal del cuadrado BCFG es 7.07.
vea también: Teorema de pitágoras
Problemas con el examen de ingreso resueltos
pregunta 5
(Cefet / MG - 2016) Se construyó una cometa, cuya figura se muestra a continuación, en el formato cuadrilátero ABCD, siendo y
. el palo
de la cometa se cruza con la varilla
en su punto medio E, formando un ángulo recto. En la construcción de esta cometa, las medidas de
utilizados son, respectivamente, 25 cm y 20 cm, y la medida de
es igual a
de la medida de
.
En estas condiciones, la medida de , en cm, es igual a
a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.
Alternativa correcta: c) 55.
Al observar la figura de la pregunta, vemos que el segmento DE, que queremos encontrar, es el mismo que el segmento BD restando el segmento BE.
Entonces, como sabemos que el segmento BE es igual a 20 cm, entonces necesitamos encontrar el valor del segmento BD.
Tenga en cuenta que el problema nos da la siguiente información:
Entonces, para encontrar la medida de BD, necesitamos conocer el valor del segmento AC.
Dado que el punto E divide el segmento en dos partes iguales (punto medio), entonces . Por lo tanto, el primer paso es encontrar la medida del segmento CE.
Para encontrar la medida CE, identificamos que el triángulo BCE es un rectángulo, que BC es la hipotenusa y BE y CE son los catetos, como se muestra en la siguiente imagen:
Luego aplicaremos el teorema de Pitágoras para encontrar la medida del cateto.
252 = 202+ x2
625 = 400 + x2
X2 = 625 - 400
X2 = 225
x = √225
x = 15 cm
Para encontrar el collar, también pudimos haber observado que el triángulo es pitagórico, es decir, las medidas de sus lados son números múltiples de las medidas del triángulo 3, 4, 5.
Así, cuando multiplicamos 4 por 5 tenemos el valor del collar (20) y si multiplicamos 5 por 5 tenemos la hipotenusa (25). Por lo tanto, la otra pierna solo podría ser 15 (5. 3).
Ahora que hemos encontrado el valor EC, podemos encontrar las otras medidas:
AC = 2. CE ⇒ AC = 2,15 = 30 cm
Por tanto, la medida de es igual a 55 cm.
vea también: Pitágoras
pregunta 6
(NIIF - 2017) Considere un triángulo equilátero con un lado de 5√3 ܿ݉. ¿Cuál es la altura y el área de este triángulo, respectivamente?
Alternativa correcta: e) 7.5 cm y 75√3 / 4 cm2
Primero, dibujemos el triángulo equilátero y tracemos la altura, como se muestra en la siguiente imagen:
Tenga en cuenta que la altura divide la base en dos segmentos de la misma medida, ya que el triángulo es equilátero. También tenga en cuenta que el triángulo ACD en la figura es un triángulo rectángulo.
Por lo tanto, para encontrar la medida de la altura, usaremos el teorema de Pitágoras:
Conociendo la medida de la altura, podemos encontrar el área a través de la fórmula:
pregunta 7
(NIIF - 2016) En la siguiente figura, el valor de xey, respectivamente, es
Alternativa correcta: a) 4√2 y √97.
Para encontrar el valor de x, apliquemos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que tiene lados iguales a 4 cm.
X2 = 42 + 42
X2 = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm
Para encontrar el valor de y, también usaremos el teorema de Pitágoras, ahora considerando que un cateto mide 4 cm y el otro 9 cm (4 + 5 = 9).
y2 = 42 + 92
y2 = 16 + 81
y = √97 cm
Por lo tanto, el valor de xey, respectivamente, es 4√2 y √97.
pregunta 8
(Aprendiz de marinero - 2017) Mire la figura a continuación.
En la figura anterior, hay un triángulo isósceles ACD, en el que el segmento AB mide 3 cm, el lado desigual AD mide 10√2 cm y los segmentos AC y CD son perpendiculares. Por tanto, es correcto afirmar que el segmento BD mide:
a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm
Alternativa correcta: d) √149 cm
Teniendo en cuenta la información presentada en el problema, construimos la siguiente figura:
Según la figura, encontramos que para encontrar el valor de x, será necesario encontrar la medida del lado que llamamos a.
Dado que el triángulo ACD es un rectángulo, aplicaremos el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del cateto a.
Ahora que conocemos el valor de a, podemos encontrar el valor de x considerando el triángulo rectángulo BCD.
Tenga en cuenta que el cateto BC es igual a la medida del cateto menos 3 cm, es decir, 10 - 3 = 7 cm. Aplicando el teorema de Pitágoras a este triángulo, tenemos:
Por lo tanto, es correcto afirmar que el segmento BD mide √149 cm.
pregunta 9
(IFRJ - 2013) El patio de deportes del Campus Arrozal de un Instituto Federal es rectangular, de 100 m de largo y 50 m de ancho, representado por el rectángulo ABCD en esta figura.
Alberto y Bruno son dos estudiantes que practican deporte en el patio. Alberto camina del punto A al punto C a lo largo de la diagonal del rectángulo y regresa al punto de partida por el mismo camino. Bruno parte del punto B, da la vuelta al patio por completo, recorre las líneas laterales y regresa al punto de partida. Así, considerando √5 = 2.24, se afirma que Bruno caminó más que Alberto
a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.
Alternativa correcta: c) 76 m.
La diagonal del rectángulo lo divide en dos triángulos rectángulos, siendo la hipotenusa la diagonal y los lados iguales a los lados del rectángulo.
Entonces, para calcular la medida diagonal, apliquemos el teorema de Pitágoras:
Mientras que Alberto fue y regresó, recorrió 224 m.
Bruno recorrió una distancia igual al perímetro del rectángulo, es decir:
p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m
Por tanto, Bruno caminó 76 m más que Alberto (300 - 112 = 76 m).
pregunta 10
(Enem - 2017) Para decorar una mesa de fiesta infantil, un chef utilizará un melón esférico con un diámetro de 10 cm, que servirá de soporte para ensartar varios dulces. Quitará un tapacubos esférico del melón, como se muestra en la figura, y, para asegurar la estabilidad de este soporte, dificultando que el melón ruede sobre la mesa, el saliente cortará de modo que el radio r de la sección de corte circular sea peludo. menos 3 cm. Por otro lado, el chef querrá tener la mayor superficie posible de la región donde se van a fijar los dulces.
Para lograr todos sus objetivos, el jefe debe cortar la tapa de melón a una altura h, en centímetros, igual a
Alternativa correcta: c) 1
Observando la figura presentada en la pregunta, identificamos que la altura h se puede encontrar disminuyendo la medida del segmento OA de la medida del radio de la esfera (R).
El radio de la esfera (R) es igual a la mitad de su diámetro, que en este caso es igual a 5 cm (10: 2 = 5).
Entonces necesitamos encontrar el valor del segmento OA. Para ello, consideraremos el triángulo OAB representado en la siguiente figura y aplicaremos el teorema de Pitágoras.
52 = 32 + x2
X2 = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm
También podríamos encontrar el valor de x directamente, notando que es el triángulo de Pitágoras 3,4 y 5.
Entonces el valor de h será igual a:
h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 cm
Por lo tanto, el chef debe cortar la tapa de melón a una altura de 1 cm.
pregunta 11
(Enem - 2016 - 2ª aplicación) La boccia es un deporte que se juega en canchas, que son terrenos planos y nivelados, limitados por plataformas perimetrales de madera. El objetivo de este deporte es lanzar petanca, que son pelotas de material sintético, con el fin de Colóquelos lo más cerca posible del bolim, que es una bola más pequeña, preferiblemente de acero, previamente lanzado. La figura 1 ilustra una bocha y un bolim que se jugaron en una cancha. Supongamos que un jugador ha lanzado una pelota, con un radio de 5 cm, que ha estado apoyada contra el bollin, con un radio de 2 cm, como se muestra en la figura 2.
Considere el punto C como el centro de la pelota y el punto O como el centro de la pelota. Se sabe que A y B son los puntos en los que la bocha y el bollin, respectivamente, tocan el suelo de la cancha, y que la distancia entre A y B es igual ad. En estas condiciones, ¿cuál es la razón entre dy el radio del bolim?
Alternativa correcta: e) √10
Para calcular el valor de la distancia d entre los puntos A y B, construyamos una figura que une los centros de las dos esferas, como se muestra a continuación:
Tenga en cuenta que la figura de puntos azules tiene la forma de un trapecio. Dividamos este trapecio, como se muestra a continuación:
Al dividir el trapecio, obtenemos un rectángulo y un triángulo rectángulo. La hipotenusa del triángulo es igual a la suma del radio de la bocha con el radio del bolim, es decir, 5 + 2 = 7 cm.
La medida de una de las piernas es igual ad y la medida de la otra pierna es igual a la medida del segmento CA, que es el radio de la bocha menos el radio del bolim (5 - 2 = 3) .
De esta forma, podemos encontrar la medida de d, aplicando el teorema de Pitágoras a este triángulo, es decir:
72 = 32 - de2
D2 = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10
Por tanto, la relación entre la distancia dy el bolim vendrá dada por:.
pregunta 12
(Enem - 2014) Diariamente, una residencia consume 20 160 Wh. Esta residencia tiene 100 celdas solares rectangular (dispositivos capaces de convertir la luz solar en energía eléctrica) de 6 cm x 8 cm. Cada una de estas celdas produce, a lo largo del día, 24 Wh por centímetro de diagonal. El propietario de esta casa quiere producir, por día, exactamente la misma cantidad de energía que consume su casa. ¿Qué debe hacer este propietario por él para lograr su objetivo?
a) Retire 16 celdas.
b) Retire 40 celdas.
c) Agregue 5 celdas.
d) Agregue 20 celdas.
e) Agregue 40 celdas.
Alternativa correcta: a) Eliminar 16 celdas.
Primero, deberá averiguar cuál es la producción de energía de cada celda. Para eso, necesitamos encontrar la medida de la diagonal del rectángulo.
La diagonal es igual a la hipotenusa del triángulo con catetos iguales a 8 cm y 6 cm. Luego calcularemos la diagonal aplicando el teorema de Pitágoras.
Sin embargo, observamos que el triángulo en cuestión es pitagórico, siendo múltiplo de los triángulos 3,4 y 5.
De esta forma, la medida de la hipotenusa será igual a 10 cm, ya que los lados del triángulo de Pitágoras 3,4 y 5 se multiplican por 2.
Ahora que conocemos la medida diagonal, podemos calcular la energía producida por las 100 celdas, es decir:
E = 24. 10. 100 = 24 000 Wh
Como la energía consumida es igual a 20 160 Wh, tendremos que reducir el número de celdas. Para encontrar este número haremos:
24 000 - 20 160 = 3840 Wh
Dividiendo este valor por la energía producida por una celda, encontramos el número que debe reducirse, es decir:
3840: 240 = 16 celdas
Por lo tanto, la acción del propietario para que logre su objetivo debe ser eliminar 16 celdas.
Para obtener más información, consulte también: Ejercicios de trigonometría