Término general de la AP

O términogeneral (La_No) de una progresión aritmética (PA) es una fórmula utilizada para determinar un elemento de este progresión cuando conocemos la posición (n) de este elemento, el primer término (un₁) y el motivo (r) del BP. Esta fórmula es:

La_No = el₁ + (n - 1) r

Para encontrar la fórmula para términogeneral da progresiónaritmética, Daremos un ejemplo, usando un PA, de cómo los términos de este secuencia se pueden escribir en términos del primer término y su razón para luego hacer lo mismo con cualquier PA.

veaademás: numeros reales

Razón y primer término de una AP

Uno progresión aritmética es una secuencia numérica en la que cualquier elemento es el resultado de la suma de su sucesor con una constante llamada razón. En otras palabras, la diferencia entre dos términos consecutivos en un PA siempre es igual a una constante. El primer término, obviamente, no tiene antecesor, por lo que no puede ser el resultado de la suma del anterior con razón.

Teniendo esto en cuenta, tenga en cuenta los siguientes elementos de PA:

La₁ = 10

La₂ = 13

La₃ = 16

La₄ = 19

…

LA razón de este PA es 3, y su primer elemento es 10. Podemos escribir todos sus elementos como resultado del primero sumado con la razón dada el número de veces. Mirar:

La₁ = 10

La₂ = 10 + 3

La₃ = 10 + 3 + 3

La₄ = 10 + 3 + 3 + 3

…

Tenga en cuenta que el número de veces razón se agrega a primerotérmino es siempre igual al índice del término BP menos 1. Por ejemplo, el₃ = 10 + 3·2 = 10 + 3·(3 – 1). En este ejemplo, el índice es 3 y el número de veces que sumamos la razón es 3 - 1 = 2. De esta forma, podemos escribir:

La₁ = 10 + 0·3

La₂ = 10 + 1·3

La₃ = 10 + 2·3

La₄ = 10 + 3·3

…

Entonces, para encontrar el vigésimo término de este PA, podemos hacer:

La₂₀ = 10 + 3·(20 – 1)

La₂₀ = 10 + 3·19

La₂₀ = 67

Término general de la AP

Usando el mismo razonamiento, pero con cualquier PA, podemos determinar el fórmula del términogeneral de la AP. Para esto, considere la PA cualquiera de los términos:

(La₁, a₂, a₃, a₄, a₅, …)

Sabiendo que cada elemento es igual al primero más el producto de la razón Para el posición de este elemento menos 1, podemos escribir:

La₁ = el₁

La₂ = el₁ + r

La₃ = el₁ + 2r

La₄ = el₁ + 3r

…

Podemos concluir que el término a_No de este PA viene dado por:

La_No = el₁ + (n - 1) r

Ejemplo

Determine el término centésimo del BP: (1, 7, 14, 21,…).

Utilizando la fórmula del términogeneral, tendremos:

La_No = el₁ + (n - 1) r

La₁₀₀ = 1 + (100 – 1)7

La₁₀₀ = 1 + (99)7

La₁₀₀ = 1 + 693

La₁₀₀ = 694

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