LA diezmo periódico es un número que tiene su parte decimal infinita y periódica, es decir, en su parte decimal hay un número que se repite infinitamente. considerado un número racional, se puede representar como fracción, Lo que es llamado fracción generadora. También puede ser simple o compuesto.
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Representación del diezmo periódico
Además de la forma de fracción, conocida como fracción generadora, el decimal periódico se puede representar como un número decimal bidireccional. Podemos insertar, al final del número, elipsis (…) O podemos poner un correr por encima de su período (parte que se repite en el diezmo), por lo que el mismo diezmo se puede representar de dos maneras. Ejemplos:
diezmo periódico simple
Un decimal periódico simple tiene un Toda una parte (que viene antes de la coma) y el curso del tiempo, que viene después de la coma.
Ejemplos:
1,333…
1 → parte entera
3 → período
0,76767676…
0 → parte entera
76 → punto
diezmo periódico compuesto
Un decimal periódico compuesto tiene Toda una parte (que viene antes de la coma), parte no periódica y curso del tiempo, que viene después de la coma. Lo que diferencia un decimal periódico simple de uno compuesto es que, en el simple, solo existe el punto después de la coma; en compuesto, hay una parte que no se repite después de la coma.
Ejemplos:
1,5888…
1 → parte entera
5 → parte no periódica
8 → período
32,01656565…
32 → parte entera
01 → parte no periódica
65 → período
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fracción generadora
Encontrar la fracción que genera el diezmo no siempre es una tarea fácil. Necesitamos dividirlo en dos casos: cuando el diezmo es simple y cuando está compuesto. Para encontrar la fracción generadora, usamos una ecuación.
→ Fracción generativa de un decimal periódico simple
Ejemplo:
- Busquemos el fracción generadora del diezmo 1.353535 ...
Sea x = 1.353535…, ya que este diezmo tiene 2 números en su período (35), multipliquemos x por 100. Luego,
100x = 135,3535…
Ahora realizando la resta,
Existe uno método práctico para encontrar la fracción generadora de un decimal periódico simple que evita la construcción de ecuaciones. Encontremos nuevamente la fracción generadora del diezmo 1.353535…, pero por el método práctico.
1er paso: identifica el período y la parte completa.
Parte entera → 1
Periodo → 35
2do paso: encuentra el numerador.
El numerador es el número formado por la parte entera y el punto (en el ejemplo, es 135) menos la parte entera, es decir:
135 – 1 = 134
3er paso: encuentra el denominador.
Para eso, evaluemos cuántos números hay en el período del diezmo, y para cada número, sumaremos el número 9 en el denominador. Como en este caso hay dos números, el denominador es 99. Por tanto, la fracción generadora es:
→ Fracción generativa de un decimal periódico compuesto
Un poco más complicado de encontrar, la fracción generadora de un decimal periódico compuesto también se puede determinar mediante un ecuación.
Ejemplo:
- Encontremos la fracción generadora del decimal 2.13444 ...
Sea x = 2,13444…. multipliquemos por 100 para que, después de la coma, solo quede la parte periódica. Luego,
100x = 213,444….
Por otro lado, sabemos que 1000x = 2134,444….
Ahora haremos la resta:
Para el decimal periódico compuesto, también hay un método práctico, que usaremos para encontrar la fracción generadora del decimal periódico compuesto 2,13444…
1er paso: identifica las partes del diezmo periódico.
Parte entera → 2
Parte no periódica → 13
Periodo → 4
2do paso: encuentra el numerador.
Para calcular el numerador, escribamos el número formado por la parte entera, la parte no periódica y el período, es decir, 2134 menos la parte completa y la parte no periódica, es decir, 213.
2134 – 213 = 1921
3er paso: encuentra el denominador.
En el denominador, para cada número en el período, agregamos un 9y para cada número en la parte no periódica, un 0.En el ejemplo, el denominador es 900.
La fracción generadora es:
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ejercicios resueltos
1) De los siguientes números, marque el que corresponda a un decimal periódico compuesto.
a) 3.14159284 ...
b) 2.21111
c) 0.3333….
d) 1.21111….
Resolución:
Alternativa D.
Analizando las alternativas, tenemos que:
a) Es un diezmo no periódico. Date cuenta de que, por infinito que sea, no hay forma de predecir los siguientes números.
b) No es un diezmo.
c) Es un decimal periódico simple.
d) Verdadero, ya que es un decimal compuesto periódico.
2) La fracción generadora del diezmo 12,3727272… ¿verdad?
a) 1372/9999
b) 12249/990
c) 12/999
d) 123/990
Resolución:
Por el método práctico, tenemos: 12372 - 123 = 12249, que será el numerador.
Analizando la parte decimal:
3 → parte no periódica
72 → período
990→ denominador
La fracción que mejor representa es 12249/990, letra B.
