O triángulo equilátero es una figura geométrica plana cuya característica principal es la tres lados congruentes, es decir, la medida de estos tres lados es la misma.
Este hecho genera una consecuencia inmediata, los tres anglos las partes internas de este triángulo también son iguales entre sí. También esto triángulo tiene importantes propiedades geométricas que facilitan la resolución de determinadas situaciones problemáticas.
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Propiedades de los triángulos equiláteros
El triángulo equilátero tiene algunas propiedades que facilitan la resolución de algunas situaciones problemáticas.
Propiedad 1 - Todos los ángulos internos de un triángulo equilátero miden 60 °.
Propiedad 2 - La altura (segmento perpendicular a uno de los lados), la mediana (segmento que divide un lado por la mitad) y la bisectriz (segmento que divide un ángulo por la mitad) coinciden.
Perímetro del triángulo equilátero
Sabemos que el perímetro de un polígono cualquiera es dado por suma de medidas de todos los lados, y en el triángulo equilátero, la idea no es diferente. Debido a que el triángulo equilátero tiene todos los lados iguales, podemos encontrar una fórmula que facilite el cálculo del perímetro.
Considere un triángulo equilátero de lado l:
Como el perímetro está dado por la suma de todos los lados, entonces:
2P = l + l + l
2P = 3 · l
Recuerda el la notación del perímetro es 2P. Usamos la letra P para representar el semiperímetro. La fórmula establece que para calcular el perímetro de un triángulo equilátero simplemente multiplica la medida del lado por 3.
- Ejemplo
Determina el perímetro del triángulo equilátero cuyo lado mide 4 cm.
Sustituyendo el valor del lado en la fórmula deducida, tenemos:
2P = 3 · l
2P = 3 · 4
2P = 12 cm
Entonces el perímetro es de 12 centímetros.
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área del triángulo equilátero
Para calcular el área de un triángulo equilátero, inicialmente trazamos la altura relativa a uno de sus lados. Por las propiedades sabemos que la altura coincide con la mediana, es decir, al graficar la altura, el lado se divide por la mitad.
Sabemos que el área de cualquier triángulo está dada por el multiplicación de la base con la altura, y eso dividido por 2.
Tenga en cuenta que el valor base se conoce en el caso 1, sin embargo, se desconoce el valor de la altura. Por lo tanto, para determinar el área del triángulo equilátero, primero es necesario encontrar su altura. Para esto, usaremos el Teorema de pitágoras:
Como ahora conocemos la medida de la altura, podemos sustituirla en la fórmula del área de un triángulo.
Ejemplo
Determina el área del triángulo equilátero cuyo lado mide 4 cm.
Para calcular el área de un triángulo equilátero, simplemente sustituye la medida del lado en la fórmula, sabiendo que en la fórmula l representa esa medida. Entonces tenemos:
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Un granjero tuvo que construir un corral para que su granja de pollos no se escapara. Al hacer el proyecto, notó que el recinto tendría la forma de un triángulo equilátero con una longitud de 3 metros en un lado. ¿Cuántos metros de valla tendrá que comprar este agricultor? Sabiendo que cada metro cuesta 4 reales y 50 centavos, ¿cuánto gastará?
Resolución
El terreno del agricultor se puede representar mediante:
El perímetro viene dado por:
2P = 3 · 3
2P = 9m
Como cada medidor cuesta 4.50 reales, el agricultor gastará 9 veces esta cantidad:
gastado = 4.5 · 9
gastado = 40,5
Por lo tanto, el agricultor gastará 40 reales y 50 centavos.
Pregunta 2 - Una empresa de baldosas necesita cubrir el fondo de una piscina con baldosas de 1 m2. La piscina tiene la forma de un triángulo equilátero de 6 metros. Determine la cantidad de mosaicos que se utilizarán.
(Dado: use √3 = 1.7)
Resolución
Inicialmente determinamos el área de la piscina.
Como cada teja mide 1 m2, entonces habrá que comprar 16 fichas, ya que 0,3 fichas no se venden.
