PA y PG: resumen, fórmulas y ejercicios

LA progresión aritmética - PA es una secuencia de valores que tiene una diferencia constante entre números consecutivos.

LA progresión geométrica - PG presenta números con el mismo cociente al dividir dos términos consecutivos.

Mientras que en la progresión aritmética los términos se obtienen sumando la diferencia común al predecesor, los términos de un Las progresiones geométricas se encuentran multiplicando la razón por el último número de la secuencia, obteniendo así el término sucesor.

A continuación se muestra un resumen de los dos tipos de progresiones.

Progresión aritmética (AP)

Una progresión aritmética es una secuencia formada por términos que se diferencian entre sí por un valor constante, que se llama razón, calculado por:

Dónde,

r es la razón de la BP;
La₂ es el segundo término;
La₁ es el primer término.

Por lo tanto, los términos de una progresión aritmética se pueden escribir de la siguiente manera:

Tenga en cuenta que en un PA de No términos la fórmula del término general (el_No) de la secuencia es:

La_No = el₁ + (n - 1) r

Algunos casos particulares son: un AP de 3 términos está representado por (x - r, x, x + r) y un AP de 5 términos tiene sus componentes representados por (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

Tipos de PA

Según el valor de la relación, las progresiones aritméticas se clasifican en 3 tipos:

1. Constante: cuando la relación es igual a cero y los términos de BP son iguales.

Ejemplo: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), donde r = 0

2. Creciente: cuando la razón es mayor que cero y un término del segundo es mayor que el anterior;

Ejemplo: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), donde r = 2

3. descendente: cuando la razón es menor que cero y un término del segundo es menor que el anterior.

Ejemplo: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), donde r = - 2

Las progresiones aritméticas todavía se pueden clasificar en finito, cuando tienen un cierto número de términos, y infinito, es decir, con términos infinitos.

Suma de términos de un PA

La suma de los términos de una progresión aritmética se calcula mediante la fórmula:

Dónde, No es el número de términos en la secuencia, La₁ es el primer término y La_No es el enésimo término. La fórmula es útil para resolver preguntas donde se da el primer y último término.

Cuando un problema tiene el primer término y el motivo de PA, puede utilizar la fórmula:

Estas dos fórmulas se utilizan para sumar los términos de un BP finito.

Plazo medio de la AP

Para determinar la media o término central de un BP con un número impar de términos calculamos la media aritmética con el primer y último término (un₁ y el_No):

El término medio entre tres números consecutivos de un PA corresponde a la media aritmética del predecesor y sucesor.

Ejemplo resuelto

Dado el PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) determine la razón, el término medio y la suma de los términos.

1. Razón PA

2. término medio

3. suma de términos

Aprender más sobre progresión aritmética.

Progresión geométrica (PG)

Una progresión geométrica se forma cuando una secuencia tiene un factor multiplicador resultante de dividir dos términos consecutivos, llamado razón común, que se calcula mediante:

Dónde,

qué es la razón de PG;
La₂ es el segundo término;
La₁ es el primer término.

Una progresión geométrica de No los términos se pueden representar de la siguiente manera:

Ser La₁ el primer término, el término general de PG se calcula por La₁.q^(No-1).

Tipos de PG

Según el valor de la razón (q), podemos clasificar las Progresiones Geométricas en 4 tipos:

1. Creciente: la relación es siempre positiva (q> 0) y los términos aumentan;

Ejemplo: PG: (3, 9, 27, 81, ...), donde q = 3.

2. descendente: la relación es siempre positiva (q> 0), distinta de cero (0) y los términos son decrecientes;

Ejemplo: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), donde q = 3

3. oscilante: la razón es negativa (q

Ejemplo: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96,…), donde q = - 2

4. Constante: la razón es siempre igual a 1 y los términos tienen el mismo valor.

Ejemplo: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), donde q = 1

Suma de términos de un PG

La suma de los términos de una progresión geométrica se calcula mediante la fórmula:

Ser La₁ el primer término, qué la razón común y No el número de términos.

Si la proporción de PG es menor que 1, usaremos la siguiente fórmula para determinar la suma de términos.

Estas fórmulas se utilizan para un PG finito. Si la suma solicitada es un PG infinito, la fórmula utilizada es:

Plazo medio de PG

Para determinar la media o término central de un PG con un número impar de términos calculamos la media geométrica con el primer y último término (a₁ y el_No):

Ejemplo resuelto

Dado PG (1, 3, 9, 27 y 81) determinar la razón, el término promedio y la suma de los términos.

1. Razón PG

2. término medio

3. suma de términos

Aprender más sobre progresión geométrica.

Resumen de fórmulas PA y PG

progresión aritmética	Progresión geométrica
Razón
termino general
término medio
suma finita
suma infinita

Aprender más sobre secuencias numéricas.

Ejercicios de PA y PG

Pregunta 1

¿Cuál es el decimosexto término de la secuencia que comienza con el número 3 y tiene una razón BP igual a 4?

a) 36
b) 52
c) 44
d) 63

Ver respuesta

Alternativa correcta: d) 63.

Dado que la razón de un PA es constante, podemos encontrar el segundo término en la secuencia sumando la razón al primer número.

La₂ = el₁ + r

La₂ = 3 + 4

La₂ = 7

Por tanto, podemos decir que esta secuencia está formada por (3, 7, 11, 15, 19, 23,…)

El decimosexto término se puede calcular con la fórmula del término general.

La_No = el₁ + (n - 1). r

La₁₆ = 3 + (16 – 1). 4

La₁₆ = 3 + 15.4

La₁₆ = 3 + 60

La₁₆ = 63

Por tanto, la respuesta a la pregunta es 63.

Pregunta 2

¿Cuál es la razón de un PA de seis términos cuya suma de los primeros tres números de la secuencia es igual a 12 y los dos últimos es igual a –34?

a) 7
b) - 6
c) - 5
d) 5

Ver respuesta

Alternativa correcta: b) - 6.

La fórmula general para los términos de una progresión aritmética es₁, (a₁ + r), (una₁ + 2r),..., {a₁ + (n-1) r}. Por lo tanto, la suma de los tres primeros términos se puede escribir de la siguiente manera:

La₁ + (el₁ + r) + (a₁ + 2r) = 12
Tercero₁ + 3r = 12
Tercero₁ = 12 - 3r
La₁ = (12 - 3r) / 3
La₁ = 4 - r

Y la suma de los dos últimos términos es:

(La₁ + 4r) + (a₁ + 5r) = - 34
2do₁ + 9r = - 34

Ahora reemplazamos el₁ por 4 - r.

2 (4 - r) + 9r = - 34
8 - 2r + 9r = - 34
7r = - 34 - 8
7r = - 42
r = - 42/7
r = - 6

Por lo tanto, la proporción de PG es - 6.

Pregunta 3

Si el tercer término de un GP es 28 y el cuarto término es 56, ¿cuáles son los primeros 5 términos de esta progresión geométrica?

a) 6, 12, 28, 56, 104
b) 7, 18, 28, 56, 92
c) 5, 9, 28, 56, 119
d) 7, 14, 28, 56, 112

Ver respuesta

Alternativa correcta: d) 7, 14, 28, 56, 112

Primero, debemos calcular la relación de este PG. Para ello usaremos la fórmula:

La₄ = el₃. qué
56 = 28. qué
56/28 = q
q = 2

Ahora calculamos los primeros 5 términos. Empezaremos con el₁ utilizando la fórmula del término general.

La_No = el₁. qué^(n-1)
La₃ = el₁ . qué^(3-1)
28 = el₁. 2²
La₁ = 28/ 4 = 7

Los términos restantes se pueden calcular multiplicando el término antecedente por la razón.

La₂ = el₁.q
La₂ = 7. 2
La₂ = 14

La₅ = el₄. qué
La₅ = 56. 2
La₅ = 112

Por lo tanto, los primeros 5 términos de PG son:

1er trimestre: 7
2do cuatrimestre: 14
3er trimestre: 28
4to trimestre: 56
5to trimestre: 112

Consulta también otros ejercicios para seguir practicando:

• Ejercicios de progresión aritmética
• Ejercicios de progresión geométrica