Área del prisma: cómo calcular, ejemplos, ejercicios.

Prismas son figuras tridimensionales formadas por dos bases congruentes y paralelas, las bases, a su vez, están formadas por polígonos convexos. Las otras caras que se denominan caras laterales están formadas por paralelogramos. Para determinar el área de un prisma, es necesario realizar su planificación y luego calcule el área de la figura plana.

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Planificación de un prisma

La idea de planificar es transformar una figura tridimensional en una figura bidimensional. En la práctica, equivaldría a cortar los bordes del prisma. A continuación se muestra un ejemplo de planificación de un prisma triangular.

Se puede adoptar el mismo proceso para todos los prismas.Sin embargo, tenga en cuenta que a medida que aumentamos el número de lados de los polígonos base, la tarea se vuelve cada vez más difícil. Por ello, haremos generalizaciones en base a la planificación de este polígono.

Cálculo del área lateral

Observando la imagen del prisma triangular, tenemos que los paralelogramos ABFC, ABFD y ACDE son los

caras laterales. Tenga en cuenta que el las caras laterales de un prisma siempre serán paralelogramos independientemente del número de lados de los polígonos base, esto sucede porque son paralelos y congruentes.

Mirando la figura del prisma triangular, también vemos que tenemos tres caras laterales. Esto se debe al número de lados del polígono base, es decir, si las bases del prisma son un cuadrilátero, tendremos cuatro caras laterales, si las bases son un pentágono, tendremos cinco caras laterales, y así sucesivamente. De esa forma: el número de lados del polígono base afecta el número de caras laterales del prisma.

Por lo tanto, los área lateral (A_L) de cualquier prisma viene dado por el área de una cara lateral multiplicada por el número de caras laterales, es decir, el área del paralelogramo multiplicada por la cantidad de lados de la cara.

LA_L = (base · altura) · número de lados de la cara

• Ejemplo

Calcule el área lateral de un prisma hexagonal regular con un borde de base igual a 3 cm y una altura igual a 11 cm.

El prisma en cuestión está representado por:

Luego, el área lateral se calcula por el área del rectángulo multiplicado por el número de lados del polígono base, que es 6, por lo que:

LA_L = (base · altura) · número de lados de la cara

LA_L = (3 · 11) · 6

LA_L = 198 cm²

Cálculo del área base

Los prismas pueden tener diferentes formas.

LA área de la base (LA_B) de un prisma depende del polígono que lo compone. Como en un prisma tenemos dos caras paralelas y congruentes, el área de la base viene dada por la suma de las áreas de los polígonos paralelos, es decir, el doble del área del polígono.

LA_B = 2 · área del polígono

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• Ejemplo

Calcule el área de la base de un prisma hexagonal regular con el borde de la base igual a 3 cm y la altura igual a 11 cm.

La base de este prisma es un hexágono regular, y este, visto desde arriba, se ve así:

Tenga en cuenta que el triangulos formados dentro del hexágono son equiláteros, por lo que el área del hexágono está dada por seis veces el área del triángulo equilátero.

Sin embargo, observe que, en el prisma, tenemos dos hexágonos, por lo que el área de la base es el doble del área del polígono.

Cálculo del área total

LA área total (A_T) de un prisma viene dada por la suma del área lateral (LA_L) con el área de la base (LA_B).

LA_T = A_L + A_B

• Ejemplo

Calcule el área total de un prisma hexagonal regular con borde de base igual a 3 cm y altura igual a 11 cm.

De los ejemplos anteriores, tenemos que A_L = 198 cm² y el_B = 27√3 cm². Por tanto, el área total viene dada por:

ejercicios resueltos

Pregunta 1 - Un cobertizo tiene la forma de un prisma que se basa en un trapecio, como se muestra en la figura.

Quieres pintar este cobertizo y se sabe que el precio de la pintura es de 20 reales el metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintar este cobertizo? (Dado: √2 = 1.4)

Solución

Inicialmente, determinemos el área del cobertizo. Su base es un trapecio, entonces:

Por tanto, el área base es:

LA_B = 2 · A_trapecio

LA_B = 2 ·10

LA_B = 20 m²

El área lateral en rojo es un rectángulo, y tenemos la parte inferior, por lo que esta área es:

LA_V = 2 · 4· 14

LA_V= 112 m²

El área en azul también es un rectángulo, pero no tenemos su base. Utilizando la Teorema de pitágoras en el triángulo formado por el trapezoide tenemos:

X² = 2² + 2²

X² = 8

x = 2√2

Entonces el área del rectángulo en azul es:

LA_LA = 2 ·14·2√2

LA_LA = 54√2 m²

Por tanto, el área lateral del prisma es igual a:

LA_L = 112 + 54√2

LA_L = 112 + 75,6

LA_L = 187,6 m²

Y entonces el área total de este prisma es:

LA_T= 20 + 187,6

LA_T= 207,6 m²

Como el precio de la pintura es de 20 reales por metro cuadrado, la cantidad gastada para pintar el cobertizo es:

20 · 207,6 = 4.152 reales

Respuesta: El monto gastado para pintar el galpón es de R $ 4.152,00

por Robson Luiz
Profesor de matemáticas

Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-area-um-prisma.htm