Un pensamiento elemental sobre la posición de un punto en relación con un círculo es que este punto puede tomar tres posiciones diferentes. Pero, ¿cómo verificar realmente la posición de un punto en el plano cartesiano en relación con un círculo cuya ecuación conocemos? Para ello necesitaremos calcular la distancia del punto al centro del círculo o reemplazar este punto en la ecuación del círculo y analizar el resultado obtenido.
Antes de comenzar este análisis algebraico, veamos las tres posiciones de los puntos:
• El punto está dentro del círculo. Esto ocurre solo si la distancia del punto al centro es menor que el radio.
• El punto pertenece al círculo. Esto sucede si la distancia desde este punto al centro es igual al radio.
• El punto está fuera del círculo. Esto ocurre cuando la distancia del punto al centro es mayor que el radio.
Por tanto, cuando tenemos que comprobar la posición relativa de un punto con respecto a un círculo, debemos calcular la distancia entre el centro y el punto, o sustituya las coordenadas del punto en la ecuación del círculo y verifique el valor numérico obtenido.
Ejemplo:
Cuando la ecuación de la circunferencia está en su forma reducida, no es necesario utilizar la fórmula de la distancia, porque la La ecuación reducida le da la distancia de estos dos puntos, simplemente resuelva el lado izquierdo de la igualdad y compare el resultado con el radio (4²).
• Punto H (2,3);
Como la distancia desde el punto H era igual al radio, podemos decir que este punto pertenece al círculo.
• Punto I (3.3);
En este caso, igualamos a 16 esperando que el resultado sea 16 de modo que el punto pertenezca al círculo, pero al realizar los cálculos obtenemos un valor mayor que el radio, por lo que el punto está fuera del circunferencia.
• Punto J (3,2);
Pero, ¿cómo analizaríamos el punto si la ecuación de la circunferencia viniera en su forma general? El procedimiento es muy similar, sin embargo en la ecuación general no tenemos una expresión algebraica igual al radio del círculo. Veamos el mismo círculo que en el ejemplo anterior, pero escrito en su forma general.
Tenga en cuenta que si tomamos los puntos que pertenecen al círculo, la ecuación anterior debería ser igual a cero. Si no es así, el punto no pertenece al círculo. Veamos los mismos puntos del ejemplo anterior, pero usando la ecuación general:
• Punto H (2,3);
Como la distancia desde el punto H era igual al radio, podemos decir que este punto pertenece al círculo.
• Punto I (3.3);
En este caso, igualamos a 16 esperando que el resultado sea 16 de modo que el punto pertenezca al círculo, pero al realizar los cálculos obtenemos un valor mayor que el radio, por lo que el punto está fuera del circunferencia.
• Punto J (3,2);
Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Licenciada en Matemáticas
Equipo Escolar de Brasil
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/posicoes-relativas-entre-ponto-circunferencia.htm