LA Progresión aritmética (SARTÉN) es un secuencia numérica donde la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre igual al mismo valor, una constante r.
Por ejemplo, (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) es un AP de razón r = 2.
Este tipo de secuencia (PA) es muy común y, a menudo, es posible que deseemos determinar la suma de todos los términos de la secuencia. En el ejemplo anterior, la suma viene dada por 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64.
Sin embargo, cuando el BP tiene muchos términos o cuando no se conocen todos los términos, se vuelve más difícil obtener esta suma sin usar una fórmula. Entonces, mira la fórmula para suma de términos de un PA.
Fórmula de suma de términos de un PA
LA suma de los términos de unProgresión aritmética se puede determinar conociendo solo el primer y último término de la secuencia, utilizando la siguiente fórmula:
En que:
: número de términos de PA;
: es el primer término del BP;
: es el último término de la AP.
Demostración:
Para demostrar que la fórmula presentada realmente permite calcular la suma de los n términos de un AP, debemos considerar una propiedad muy importante del AP:
Propiedades de un PA: la suma de dos términos que están a la misma distancia del centro de un PA finito es siempre el mismo valor, es decir, constante.
Para comprender cómo funciona esto en la práctica, considere el BP del ejemplo inicial (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15).
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 1 + 15 = 16
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(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 3 + 13 = 16
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 5 + 11 = 16
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 7 + 9 = 16
Ahora, vea que 16 + 16 + 16 + 16 = 4 x 16 = 64, que es la suma de los términos de este PA. Además:
- El número 16 se puede obtener solo a través del primer y último término 1+ 15 = 16.
- El número 16 se agregó 4 veces, lo que corresponde a la mitad del número de términos en la secuencia (8/2 = 4).
Lo que pasó no es una coincidencia y vale para cualquier AP.
En cualquier AP, la suma de los términos equidistantes siempre será el mismo valor, que se puede obtener mediante () y como siempre se suman cada dos valores, en una secuencia de
términos, habrá (
) un total de
veces.
A partir de ahí, obtenemos la fórmula:
Ejemplo:
Calcula la suma de los términos de BP (-10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60).
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