Suma de los ángulos internos y externos de un polígono convexo

Tú polígonos convexos son los que no tienen concavidad. Para ver si un polígono es convexo o no, debemos observar que cualquier segmento de línea recta con extremos en la figura no pasa por la región exterior.

En los polígonos convexos, existen fórmulas que te permiten determinar la suma de los ángulos internos y externos. ¡Verificar!

Suma de los ángulos internos de un polígono convexo

La fórmula de suma de los ángulos internos de un polígono convexo con n lados es:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Demostración:

Si miramos, veremos que cada polígono convexo se puede dividir en un cierto número de triángulos. Vea algunos ejemplos:

Entonces, recordando que el suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre igual a 180 °, podemos ver que la suma de los ángulos internos en estas figuras de arriba vendrá dada por el número de triángulos que la figura podría dividir por 180 °:

cuadrilátero: 2 triángulos ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 2 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$
Pentágono: 3 triángulos ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 540 ^ {\ circ}}$
Hexágono: 4 triángulos ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 4 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 720 ^ {\ circ}}$

Entonces, para obtener una fórmula para calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo, solo necesitamos saber, en términos generales, en cuántos triángulos se puede dividir un polígono convexo.

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Si observamos, existe una relación entre esta cantidad y el número de lados de las figuras. El número de triángulos es igual al número de lados de la figura menos 2, es decir:

$\ dpi {120} \ mathrm {Total \, de \, tri \ hat {a} ángulos = n - 2}$

Cuadrilátero: 4 lados ⇒ n - 2 = 4 - 2 = 2
Pentágono: 5 lados ⇒ n - 2 = 5 - 2 = 3
Hexágono: 6 lados ⇒ n - 2 = 6 - 2 = 4

Entonces, en general, la suma de los ángulos internos de un polígono convexo viene dada por: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Cuál es la fórmula que queríamos demostrar.

Ejemplo:

Encuentre la suma de los ángulos interiores de un icoságono convexo.

Un icoságono es un polígono de 20 lados, es decir, n = 20. Reemplacemos este valor en la fórmula:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (20-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 18 \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3240 ^ {\ circ}}$

Por lo tanto, la suma de los ángulos internos de un icoságono convexo es igual a 3240 °.

Suma de los ángulos externos de un polígono

LA suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo siempre es igual a 360 °, es decir:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_e = 360 ^ {\ circ}}$

Demostración:

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Demostraremos con ejemplos que la suma de los ángulos externos de un polígono convexo no depende del número de lados de la figura y siempre es igual a 360 °.

Cuadrilátero:

cuadrilátero Tenga en cuenta que cada ángulo interior forma un ángulo de 180 ° con el ángulo exterior. Entonces, dado que hay cuatro vértices, la suma de todos los ángulos está dada por 4. 180° = 720°.

O sea: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 720 ^ {\ circ}}$

Pronto:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - S_i}$

Una vez que $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 360 ^ {\ circ}}$ , luego:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - 360 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$

Pentágono:

En el pentágono, tenemos 5 vértices, por lo que la suma de todos los ángulos está dada por 5. 180° = 900°. Pronto: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 900 ^ {\ circ}}$ . Luego: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - S_i}$ . Una vez que $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 540 ^ {\ circ}}$ , luego: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - 540 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Hexágono:

En el hexágono, tenemos 6 vértices, por lo que la suma de todos los ángulos está dada por 6. 180° = 1080°. Pronto: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1080 ^ {\ circ}}$ . Luego: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - S_i}$ . Una vez que $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 710 ^ {\ circ}}$ , luego: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - 720 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Como puede ver, en los tres ejemplos, la suma de los ángulos externos, $\ dpi {120} \ mathrm {S_e}$ , resultó en 360 °.

Ejemplo:

La suma de los ángulos interior y exterior de un polígono es igual a 1800 °. ¿Qué es este polígono?

Tenemos: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1800 ^ {\ circ}}$ . Sabiendo que en cualquier polígono $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 360 ^ {\ circ}}$ , entonces nosotros tenemos:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i + 360 ^ {\ circ} = 1800 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {S_i = 1800 ^ {\ circ} - 360 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {S_i = 1440 ^ {\ circ}}$

Por lo tanto, nos queda saber qué polígono tiene la suma de los ángulos internos igual a 1440 °.

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {1440 ^ {\ circ} = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {1440 ^ {\ circ} = 180 ^ {\ circ} n - 360 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {1440 ^ {\ circ} + 360 ^ {\ circ} = 180 ^ {\ circ} n}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {1800 ^ {\ circ} = 180 ^ {\ circ} n}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {n = 1800 ^ {\ circ} / 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {n = 10}$

Resolviendo esta ecuación, podemos ver que n = 10. Por lo tanto, el polígono deseado es el decágono.

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