Ejercicios de números complejos: lista de preguntas resueltas y comentarios

Tú números complejos Permiten resolver problemas matemáticos que no tienen soluciones en el conjunto de numeros reales.

En un número complejo escrito como $\ dpi {120} z = a + bi$ , Nosotros decimos eso $\ dpi {120} a$ es la parte real, $\ dpi {120} b$ es la parte imaginaria y $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ es la unidad imaginaria.

Para realizar operaciones con números complejos, hay algunas expresiones que facilitan los cálculos. Considerar $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ y $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Expresión de suma entre números complejos:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Expresión de resta entre números complejos:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

Expresión de multiplicación entre números complejos:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

Expresión de división entre números complejos:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - ad)} {c ^ 2 + d ^ 2 }I$

A continuación se muestra una lista de preguntas resueltas con ejercicios sobre números complejos. ¡Aprenda a usar cada uno de los conceptos relacionados con estos números!

Índice

Lista de ejercicios sobre números complejos
Resolución de la pregunta 1
Resolución de la pregunta 2
Resolución de la pregunta 3
Resolución de la pregunta 4
Resolución de la pregunta 5
Resolución de la pregunta 6
Resolución de la pregunta 7
Resolución de la pregunta 8

Lista de ejercicios sobre números complejos

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Pregunta 1. Considerando los números complejos $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ y $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ determinar el valor de $\ dpi {120} A$ , Cuándo $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Pregunta 2. Encuentra los valores de $\ dpi {120} x$ y $\ dpi {120} años$ tal que $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Pregunta 3. Considerando los números complejos $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ y $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , determina el valor de $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Cuándo $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ y $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Pregunta 4. Calcule el valor de $\ dpi {120} p$ y $\ dpi {120} q$ para que $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Cuándo $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ y $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Pregunta 5. Determine el valor de $\ dpi {120} a$ para que $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ ser un número imaginario puro.

Pregunta 6. Calcule las siguientes potencias unitarias imaginarias $\ dpi {120} i$ :

La) $\ dpi {120} i ^ {16}$
B) $\ dpi {120} i ^ {200}$
C) $\ dpi {120} i ^ {829}$
D) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

Pregunta 7. Encuentra la solución a la ecuación $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ en el conjunto de números complejos.

Pregunta 8. Determina la solución de la ecuación $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ en el conjunto de números complejos.

Resolución de la pregunta 1

Tenemos $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ y $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ y $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ y queremos determinar el valor de $\ dpi {120} A$ , Cuándo $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Primero, calculemos $\ dpi {120} 4z_3$ y $\ dpi {120} 3z_1$ , por separado:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

Ahora calculemos $\ dpi {120} A$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha A = -8 + 2i$

Resolución de la pregunta 2

Queremos encontrar xey de modo que $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Por expresión de la suma entre dos números complejos, tenemos que:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Entonces debemos tener $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ y $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . Resolvamos estas dos ecuaciones para encontrar x e y.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ Flecha derecha y = 3-2 \ Flecha derecha y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Flecha derecha x- 5 = -1 \ Flecha derecha x = -1 + 5 \ Flecha derecha x = 4$

Resolución de la pregunta 3

Tenemos $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ y $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ y queremos determinar el valor de $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Cuándo $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ y $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Primero, calculamos $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

Por expresión de la multiplicación entre dos números complejos, tenemos que:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha A = 29$

Ahora calculemos $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha B = [1 \ cdot 1-3 \ cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha B = 10$

Por lo tanto, $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

Resolución de la pregunta 4

Queremos calcular el valor de $\ dpi {120} p$ y $\ dpi {120} q$ para que $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Cuándo $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ y $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Significa encontrar $\ dpi {120} p$ y $\ dpi {120} q$ de modo que:

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$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Por la expresión de la división entre dos números complejos, tenemos que:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

Uniendo las dos condiciones, debemos tener:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

O sea:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

Resolvamos cada una de estas ecuaciones, comenzando por la segunda que solo depende de p.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha p = -16$

Ahora, encontramos q por la otra ecuación:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha q = 7$

Resolución de la pregunta 5

Queremos encontrar el valor de $\ dpi {120} a$ para que $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ ser un número imaginario puro.

Un número imaginario puro es aquel cuya parte real es igual a cero.

Considerando la expresión de la división entre dos números complejos, tenemos que:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

Para que este número sea imaginario puro, debemos tener:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha a = -2$

Resolución de la pregunta 6

Al definir potencias y números complejos tenemos que:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

Observe un patrón que se repite cada cuatro potencias sucesivas: 1, i, -1 y -i.

Por lo tanto, para encontrar el resultado a cualquier potencia de i, simplemente divida el exponente por 4. El resto de la división será 0, 1, 2 o 3 y este valor será el exponente que debemos utilizar.

La) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4 y el resto es 0.

Luego, $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .