Ejercicios de números factoriales

números de factores son números enteros positivos que indican el producto entre el número en sí y todos sus predecesores.

Para $\ dpi {120} n \ geq 2$ , tenemos que:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {n! = n \ cdot (n-1) \ cdot (n-2) \ cdot (n-3) \ cdot... \ cdot 2 \ cdot 1}$

Para $\ dpi {120} n = 0$ y $\ dpi {120} n = 1$ , el factorial se define de la siguiente manera:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {0! = 1}$
$\ dpi {120} \ boldsymbol {1! = 1}$

Para obtener más información sobre estos números, consulte un lista de ejercicios de números factoriales, ¡todo con resolución!

Índice

Ejercicios de números factoriales
Resolución de la pregunta 1
Resolución de la pregunta 2
Resolución de la pregunta 3
Resolución de la pregunta 4
Resolución de la pregunta 5
Resolución de la pregunta 6
Resolución de la pregunta 7
Resolución de la pregunta 8

Ejercicios de números factoriales

Pregunta 1. Calcule el factorial de:

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7

Pregunta 2. Determine el valor de:

a) 5! + 3!
b) 6! – 4!
c) 8! – 7! + 1! – 0!

Pregunta 3. Resuelve las operaciones:

a) 8!. 8!
b) 5! – 2!. 3!
c) 4!. (1 + 0)!

Pregunta 4. Calcula las divisiones entre factoriales:

La) $\ dpi {120} \ frac {10!} {9!}$

B) $\ dpi {120} \ frac {(10-4)!} {4!}$

C) $\ dpi {120} \ frac {20!} {(19 + 1! - 0!)!}$

Pregunta 5. Ser $\ dpi {120} a \ in \ mathbb {Z}$ , $\ dpi {120} a> 0$ , Rápido $\ dpi {120} (a + 5)!$ a través de $\ dpi {120} a!$

Pregunta 6. Simplifique las siguientes proporciones:

La) $\ dpi {120} \ frac {(n + 1)!} {n!}$

B) $\ dpi {120} \ frac {n!} {(n-1)!}$

C) $\ dpi {120} \ frac {(n + 3)!} {(n + 3). (n + 2). (n + 1)}$

Pregunta 7. Resuelve la ecuación:

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$\ dpi {120} 12x! + 5 (x + 1)! = (x + 2)!$

Pregunta 8. Simplifica el cociente:

$\ dpi {120} \ frac {(x + 2) ^ 3 \ cdot x!} {(x + 2)! + (x + 1)! + x!}$

Resolución de la pregunta 1

a) El factorial de 4 viene dado por:

4! = 4. 3. 2. 1 = 24

b) El factorial de 5 viene dado por:

5! = 5. 4. 3. 2. 1

Como 4. 3. 2. 1 = 4!, podemos reescribir 5! de la siguiente manera:

5! = 5. 4!

¡Ya hemos visto ese 4! = 24, entonces:

5! = 5. 24 = 120

c) El factorial de 6 viene dado por:

6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1

Como 5. 4. 3. 2. 1 = 5!, podemos reescribir 6! como sigue:

6! = 6. 5! = 6. 120 = 720

d) El factorial de 7 viene dado por:

7! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1

Como 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 6!, podemos reescribir 7! de la siguiente manera:

7! = 7. 6! = 7. 720 = 5040

Resolución de la pregunta 2

a) 5! + 3! = ?

Al sumar o restar números factoriales, debemos calcular cada factorial antes de realizar la operación.

¡Como 5! = 120 y 3! = 6, entonces tenemos que:

5! + 3! = 120 + 6 = 126

b) 6! – 4! = ?

¡Como 6! = 720 y 4! = 24, tenemos que:

6! – 4! = 720 – 24 = 696

c) 8! – 7! + 1! – 0! = ?

¡Como 8! = 40320, 7! = 5040, 1! = 1 y 0! = 1, tenemos que:

8! – 7! + 1! – 0! = 40320 – 5040 + 1 – 1 = 35280

Resolución de la pregunta 3

a) 8!. 8! = ?

En la multiplicación de números factoriales, debemos calcular los factoriales y luego realizar la multiplicación entre ellos.

¡Como 8! = 40320, entonces tenemos que:

8!. 8! = 40320. 40320 = 1625702400

b) 5! – 2!. 3! = ?

¡Como 5! = 120, 2! = 2 y 3! = 6, tenemos que:

5! – 2!. 3! = 120 – 2. 6 = 120 – 12 = 108

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c) 4!. (1 + 0)! = 4!. 1! = ?

¡Como 4! = 24 y 1! = 1, entonces tenemos que:

4!. 1! = 24. 1 = 24

Resolución de la pregunta 4

La) $\ dpi {120} \ frac {10!} {9!}$ = ?

Al dividir números factoriales, también debemos calcular los factoriales antes de resolver la división.

¡Como 10! = 3628800 y 9! = 362880, entonces, $\ dpi {120} \ frac {10!} {9!} = \ frac {3628800} {362880} = 10$ .

Sin embargo, en la división, podemos simplificar los factoriales, anulando términos iguales en el numerador y denominador. Este procedimiento facilita muchos cálculos. Vea:

¡Como 10! = 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 10. 9!, tenemos que:

$\ dpi {120} \ frac {10!} {9!} = \ frac {10 \ cdot \ cancel {9!}} {\ cancel {9!}} = 10$

B) $\ dpi {120} \ frac {(10-4)!} {4!}$ = ?

$\ dpi {120} \ frac {(10-4)!} {4!} = \ frac {6!} {4!} = \ frac {6 \ cdot 5 \ cdot \ cancel {4!}} {\ cancelar {4!}} = 30$

C) $\ dpi {120} \ frac {20!} {(19 + 1! - 0!)!}$ = ?

$\ dpi {120} \ frac {20!} {(19 + 1! - 0!)!} = \ Frac {20!} {(19 + 1 - 1)!} = \ Frac {20!} {19!} = \ Frac {20 \ cdot \ cancel {19!}} {\ cancelar {19!}} = 20$

Resolución de la pregunta 5

Recordando eso $\ dpi {120} n! = n. (n - 1)!$ , podemos reescribir $\ dpi {120} (a + 5)!$ de la siguiente manera:

$\ dpi {120} (a + 5)! = (a + 5). (a + 5 - 1)! = (a + 5). (a + 4)!$

Siguiendo este procedimiento, tenemos que:

$\ dpi {120} (a + 5)! = (a + 5). (a + 4). (a + 3). (a + 2). (a + 1). ¡La!$

Resolución de la pregunta 6

La) $\ dpi {120} \ frac {(n + 1)!} {n!}$ = ?

Podemos reescribir el numerador de la siguiente manera:

$\ dpi {120} (n + 1)! = (n + 1). (n + 1 - 1)! = (n + 1) .n!$

De esta forma pudimos cancelar el plazo $\ dpi {120} n!$ , simplificando el cociente:

$\ dpi {120} \ frac {(n + 1)!} {n!} = \ frac {(n + 1). \ cancel {n!}} {\ cancel {n!}} = n + 1$

B) $\ dpi {120} \ frac {n!} {(n-1)!}$ = ?

Podemos reescribir el numerador de la siguiente manera:

$\ dpi {120} n! = n. (n-1)!$

Por lo tanto, pudimos cancelar el plazo. $\ dpi {120} n!$ , simplificando el cociente:

$\ dpi {120} \ frac {n!} {(n-1)!} = \ frac {n. \ cancel {(n-1)!}} {\ cancel {(n-1)!}} = n$

C) $\ dpi {120} \ frac {(n + 3)!} {(n + 3). (n + 2). (n + 1)}$ = ?

Podemos reescribir el numerador de la siguiente manera:

$\ dpi {120} (n + 3)! = (n + 3). (n + 2). (n + 1). ¡No!$

Por lo tanto, podemos cancelar algunos términos del cociente:

$\ dpi {120} \ frac {(n + 3)!} {(n + 3). (n + 2). (n + 1)} = \ frac {\ cancelar {(n + 3). (n +) 2). (N + 1)}. N!} {\ Cancelar {(n + 3). (N + 2). (N + 1)}} = n!$

Resolución de la pregunta 7

resuelve la ecuación $\ dpi {120} 12x! + 5 (x + 1)! = (x + 2)!$ significa encontrar los valores de $\ dpi {120} x$ para lo cual la igualdad es verdadera.

Comencemos por descomponer términos con factoriales, en un intento de simplificar la ecuación:

$\ dpi {120} 12x! + 5 (x + 1)! = (x + 2)!$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha 12x! + 5 (x + 1) .x! = (x + 2). (x + 1) .x!$

dividiendo ambos lados por $\ dpi {120} x!$ , logramos eliminar el factorial de la ecuación:

$\ dpi {120} \ frac {12 \ cancel {x!}} {\ cancel {x!}} + \ frac {5 (x + 1). \ cancel {x!}} {\ cancel {x!}} = \ frac {(x + 2). (x + 1). \ cancel {x!}} {\ cancel {x!}}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha 12 + 5 (x + 1) = (x + 2). (x + 1)$

Al multiplicar los términos entre paréntesis y ordenar la ecuación, tenemos que:

$\ dpi {120} 12 + 5x + 5 = x ^ 2 + x + 2x + 2$

$\ dpi {120} x ^ 2 - 2x - 15 = 0$

Es un Ecuación de segundo grado. Desde el Fórmula de Bhaskara, determinamos las raíces:

$\ dpi {120} x = 5 \, \ mathrm {o} \, x = -3$

Por definición de factorial, $\ dpi {120} x$ no puede ser negativo, entonces, $\ dpi {120} x = 5$ .

Resolución de la pregunta 8

$\ dpi {120} \ frac {(x + 2) ^ 3 \ cdot x!} {(x + 2)! + (x + 1)! + x!}$

Como $\ dpi {120} (x + 2)! = (x + 2). (x + 1) .x!$ y $\ dpi {120} (x + 1)! = (x + 1) .x!$ , podemos reescribir el cociente como:

$\ dpi {120} \ frac {(x + 2) ^ 3 \ cdot x!} {(x + 2). (x + 1) .x! + (x + 1) .x! + x!}$

Como las tres porciones del denominador tienen el término $\ dpi {120} x!$ , podemos resaltarlo y cancelar con $\ dpi {120} x!$ que aparece en el numerador.