Condición de alineación de tres puntos


Cuando tres puntos pertenecen al mismo derecho, se les llama puntos alineados.

En la siguiente figura, los puntos \ dpi {120} \ mathrm {A} (x_1, y_1), \ dpi {120} \ mathrm {B} (x_2, y_2) y \ dpi {120} \ mathrm {C} (x_3, y_3) son puntos alineados.

puntos alineados

Condición de alineación de tres puntos

Si los puntos A, B y C están alineados, entonces los triángulos ABD y BCE son triángulos similares, por lo tanto, tienen lados proporcionales.

Condición de alineación
\ dpi {120} \ boldsymbol {\ frac {x_2-x_1} {x_3-x_2} = \ frac {y_2-y_1} {y_3-y_2}}

Entonces el condición de alineación de tres puntos\ dpi {120} \ mathrm {A} (x_1, y_1), \ dpi {120} \ mathrm {B} (x_2, y_2) y \ dpi {120} \ mathrm {C} (x_3, y_3) any, es que se satisface la siguiente igualdad:

\ dpi {120} \ boldsymbol {\ frac {x_2-x_1} {x_3-x_2} = \ frac {y_2-y_1} {y_3-y_2}}

Ejemplos:

Compruebe que los puntos estén alineados:

a) (2, -1), (6, 1) y (8, 2)

Calculamos el primer lado de la igualdad:

\ dpi {120} \ frac {x_2-x_1} {x_3-x_2} = \ frac {6 -2} {8-6} = \ frac {4} {2} = 2

Calculamos el segundo lado de la igualdad:

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\ dpi {120} \ frac {y_2-y_1} {y_3-y_2} = \ frac {1 - (- 1)} {2-1} = \ frac {2} {1} = 2

Dado que los resultados son iguales (2 = 2), entonces los puntos están alineados.

b) (-2, 0), (4, 2) y (6, 3)

Calculamos el primer lado de la igualdad:

\ dpi {120} \ frac {x_2-x_1} {x_3-x_2} = \ frac {4 - (- 2)} {6-4} = \ frac {6} {2} = 3

Calculamos el segundo lado de la igualdad:

\ dpi {120} \ frac {y_2-y_1} {y_3-y_2} = \ frac {2-0} {3-2} = \ frac {2} {1} = 2

Dado que los resultados son diferentes (3 ≠ 2), los puntos no están alineados.

Observación:

Es posible demostrar que si: \ dpi {120} \ frac {x_2-x_1} {x_3-x_2} = \ frac {y_2-y_1} {y_3-y_2}

Entonces determinante de matriz de coordenadas de los puntos es cero, es decir:

\ dpi {120} \ mathrm {\ begin {vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \ end {vmatrix} = 0}

Por tanto, otra forma de comprobar si tres puntos están alineados es resolviendo el determinante.

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