Funciones trigonométricas del medio arco

A funciones trigonométricas, seno, coseno y tangente, de la mitad del arco se pueden obtener a partir de las funciones trigonométricas del arco doble.

Dado un arco de medida $\ dpi {120} \ alpha$ , el doble arco es el arco $\ dpi {120} 2 \ alpha$ y el medio arco es el arco $\ dpi {120} \ alpha / 2$ .

Por dos fórmulas de suma de arco, tenemos las funciones trigonométricas del arco doble:

Seno:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

coseno:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ alpha} \ cdot sin \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Tangente:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - tan \, {\ alpha} \ cdot tan \, {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha }}}$

A partir de estas fórmulas, mostraremos las fórmulas para funciones trigonométricas de medio arco.

Funciones trigonométricas del medio arco

Una de la relaciones fundamentales de la trigonometría es que:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

De donde conseguimos:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

reemplazando $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ en la fórmula del coseno del doble arco tenemos que:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}$

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$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Por lo tanto: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

reemplazando $\ dpi {120} \ alpha$ por $\ dpi {120} \ alpha / 2$ en la fórmula anterior y extrayendo la raíz cuadrada en ambos lados, tenemos la fórmula para coseno de la mitad del arco:

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$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Nota: El signo de la fórmula será positivo o negativo según el cuadrante de la mitad del arco.

Ahora reemplazando $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ en la fórmula del coseno del doble arco tenemos que:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Por lo tanto:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

reemplazando $\ dpi {120} \ alpha$ por $\ dpi {120} \ alpha / 2$ en la fórmula anterior y extrayendo la raíz cuadrada en ambos lados, tenemos la fórmula para seno de la mitad del arco:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Nota: El signo de la fórmula será positivo o negativo según el cuadrante de la mitad del arco.

Finalmente, podemos obtener la tangente de la mitad del arco, dividiendo el seno de la mitad del arco por el coseno de la mitad del arco:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \alfa}}}$

Por tanto, la fórmula de medio arco tangente é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alfa}}}}$

Nota: El signo de la fórmula será positivo o negativo según el cuadrante de la mitad del arco.

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