O tronco de un cono es el sólido formado por parte inferior del cono al realizar una sección a cualquier altura paralela a la base. cuando cortamos el cono a cualquier altura, se divide en dos sólidos geométricos, un cono más pequeño que el anterior y el tronco de un cono.
El tronco del cono tiene fórmulas específicas para que sea posible calcular el área total y el volumen de este sólido geométrico.
Lea también: ¿Qué son los sólidos de Platón?
Elementos del tronco del cono
El tronco de un cono es un caso especial de cuerpos redondos. Recibe su nombre porque, en un cono, cuando hacemos una sección paralela a la base, se divide en dos partes. La parte de abajo es el tronco del cono.
Dado el tronco de un cono, hay elementos importantes en este sólido, que reciben nombres específicos.
R → radio de la base más grande
h → altura del cono
r → radio de la base más pequeña
g → generatriz del cono del tronco
Podemos ver que el tronco del cono está compuesto por
dos caras en forma de círculo, que se conocen como bases. Además, uno de ellos siempre tiene un radio menor que el otro. Por lo tanto, rNo pares ahora... Hay más después de la publicidad;)
Generador de cono de tronco
Dado un tronco cónico, es posible Calcule el valor generador de este sólido usando el teorema de Pitágoras, cuando conocemos los radios de la base más grande y más pequeña, además de la altura.
g² = h² + (R - r) ²
Ejemplo:
Encuentre la generatriz de un cono de tronco que tenga una altura de 8 cm, un radio de la base mayor igual a 10 cm y el radio de la base menor a 4 cm.
Para encontrar el tronco de la generatriz del cono, tenemos que:
h = 8
R = 10
r = 4
Sustituyendo en la fórmula:
g² = h² + (R - r) ²
g² = 8² + (10 - 4) ²
g² = 64 + 6²
g² = 64 + 36
g² = 100
g = √100
g = 10 cm
Vea también: ¿Cómo encontrar el centro de un círculo?
Volumen del cono del tronco
Para calcular el volumen del tronco del cono, usamos la fórmula:
Conociendo los valores de altura, el radio de la base más grande y el radio de la base más pequeña, es posible calcular el volumen del tronco de un cono.
Ejemplo:
Encuentre el volumen de un cono de tronco que tiene una altura igual a 6 cm, el radio de la base más grande es igual a 8 cm y el radio de la base más pequeña es igual a 4 cm. Utilice π = 3,1.
Planificación del tronco de un cono
LA cepillado de un sólido geométrico y el representación de sus rostros de forma bidimensional. Vea a continuación el plano del tronco del cono.
Área total del tronco del cono
Conociendo el plano de un tronco de cono, es posible calcular el valor del área total de este sólido geométrico. Sabemos que se compone de dos bases en forma de círculo y también por su zona lateral. El área total del tronco de un cono es la suma de las áreas de estas tres regiones:
LAT = AB + AB + Aallí
LAT → área total
LAB → área de base más grande
LAB → área de base más pequeña
LAL → área lateral
Tenga en cuenta que las bases son círculos y que el área lateral comienza desde un círculo, entonces:
LAallí = πg (R + r)
LAB = πR²
LAB = πr²
Ejemplo:
Calcule el área total del tronco del cono que tiene una altura igual a 12 cm, radio de base mayor igual a 10 cm y radio de base menor a 5 cm. Utilice π = 3.
Primero encontraremos la generatriz para calcular el área lateral:
g² = 12² + (10 - 5) ²
g² = 12² + 5²
g² = 144 + 25
g² = 169
g = √169
g = 13
LAallí = πg (R + r)
LAallí = 3 · 13 (10 + 5)
LAallí = 39 · 15
LAallí = 39 · 15
LAallí = 585 cm²
Ahora calcularemos el área de cada una de las bases:
LAB = πR²
LAB = 3 · 10²
LAB = 3 · 100
LAB = 300 cm²
LAB = πr²
LAB= 3 · 5²
LAB= 3 · 25
LAB= 75 cm²
LAT = AB + AB + Aallí
LAT = 300+ 75 + 585 = 960 cm²
Vea también: ¿Cuáles son las diferencias entre círculo y circunferencia?
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (Enem 2013) Un cocinero, experto en la elaboración de pasteles, utiliza un molde en el formato que se muestra en la figura:
Identifica la representación de dos figuras geométricas tridimensionales. Estas cifras son:
A) un tronco de cono y un cilindro.
B) un cono y un cilindro.
C) un tronco de una pirámide y un cilindro.
D) dos troncos cónicos.
E) dos cilindros.
Resolución
Alternativa D. Analizando los sólidos geométricos, los dos tienen dos caras circulares de diferentes tamaños, por lo que son cono truncos.
Pregunta 2 - (Nucepe) Cómo es y para qué sirve principalmente una taza, todos lo sabemos: servir bebidas, especialmente las calientes. Pero, ¿de dónde surgió la idea de crear un "vaso con asa"?
El té, de origen oriental, se servía inicialmente en ollas redondas sin asas. Según la tradición, esto fue incluso una advertencia para quienes llevaban a cabo la ceremonia de beber: si el recipiente quemaba las yemas de los dedos, hacía demasiado calor para beber. A la temperatura ideal, no molestaba, ni siquiera en contacto directo con la porcelana.
Fuente: http://www.mexidodeideias.com.br/viagem/a-historia-da-xicara. Consultado el 01/06/2018.
Una taza de té tiene la forma de un tronco de cono recto, como se muestra en la figura siguiente. ¿Cuál es el volumen máximo aproximado de líquido que puede contener?
A) 168 cm³
B) 172 cm³
C) 166 cm³
D) 176 cm³
E) 164 cm³
Resolución
Alternativa D.
Para encontrar el volumen, primero calculemos el valor de cada uno de los rayos. Para hacer esto, simplemente divida el diámetro por dos.
R = 8/2 = 4
r = 4/2 = 2
Además del radio, sabemos que h = 6.
Entonces, tenemos que:
El valor más cercano es 176 cm³.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
¿Le gustaría hacer referencia a este texto en una escuela o trabajo académico? Vea:
OLIVEIRA, Raúl Rodrigues de. "Tronco cónico"; Escuela Brasil. Disponible: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tronco-cone.htm. Consultado el 28 de junio de 2021.
Matemáticas
Aprenda más sobre el cilindro, la forma geométrica tridimensional y conozca la definición formal y las clasificaciones de este sólido geométrico. Aprenda también cuáles son las secciones del cilindro, que pueden ser transversales o meridionales. Vea también cómo se pueden usar las secciones para llegar a la fórmula del volumen del cilindro.
