LA ley del coseno es una relación trigonométrica utilizado para relacionar lados y anglos de un triángulo any, es decir, ese triángulo que no necesariamente tiene un ángulo recto. Tenga en cuenta el siguiente triángulo ABC con las medidas resaltadas:
LA leyDecosenos puede ser dado por uno de los siguientes expresiones:
La2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cosα
B2 = el2 + c2 - 2 · a · c · cosβ
C2 = b2 + el2 - 2 · b · a · cosθ
Observación: No es necesario memorizar estas tres fórmulas. Solo se que el leyDecosenos siempre se puede construir. Observe, en la primera expresión, que α es el ángulo opuesto al lado cuya medida está dada por La. Comenzamos la fórmula con el cuadrado del lado opuesto del ángulo que se utilizará en los cálculos. Será igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble del producto de los dos lados que no son opuestos a este ángulo por el coseno de α.
De esta forma, las tres fórmulas anteriores se pueden reducir a:
La2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cosα
Siempre que sepamos que "
La" es la medida en el lado opuesto de "α", y que "b" y "c" son las medidas de los otros dos lados de la triángulo.Demostración
Dado que triángulo Cualquier ABC, con las medidas resaltadas en la siguiente figura:
Considere los triángulos ABD y BCD formados por la altura BD del triángulo ABC. Utilizando la Teorema de pitágoras en ABD tendremos:
C2 = x2 + h2
H2 = c2 - X2
Usando el mismo teorema para triángulo BCD, tendremos:
No pares ahora... Hay más después de la publicidad;)
La2 = y2 + h2
H2 = el2 - y2
Sabiendo que hay2 = c2 - X2, tendremos:
C2 - X2 = el2 - y2
C2 - X2 + y2 = el2
La2 = c2 - X2 + y2
Nota en la imagen de triángulo donde b = x + y, donde y = b - x. Reemplazando este valor en el resultado obtenido anteriormente, tendremos:
La2 = c2 - X2 + y2
La2 = c2 - X2 + (b - x)2
La2 = c2 - X2 + b2 - 2bx + x2
La2 = c2 + b2 - 2bx
Sin dejar de mirar la figura, observe que:
cosα = X
C
c · cosα = x
x = c · cosα
Sustituyendo este resultado en la expresión anterior, tendremos:
La2 = c2 + b2 - 2bx
La2 = c2 + b2 - 2b · c · cosα
Esta es exactamente la primera de las tres expresiones presentadas anteriormente. Los otros dos se pueden obtener de forma análoga a este.
Ejemplo - En el triángulo luego calcula la medida de x.
Solución:
Utilizando la leyDecosenos, tenga en cuenta que x es la medida del lado opuesto al ángulo de 60 °. Por lo tanto, el primer "número" que aparezca en la solución debería ser:
X2 = 102 + 102 - 2 · 10 · 10 · cos60 °
X2 = 100 + 100 - 2 · 100 · cos60 °
X2 = 200-200 · cos60 °
X2 = 200 – 200·1
2
X2 = 200 – 100
X2 = 100
x = ± √100
x = ± 10
Como no hay longitudes negativas, el resultado solo debe ser el valor positivo, es decir, x = 10 cm.
de Luiz Moreira
Licenciada en Matemáticas
¿Le gustaría hacer referencia a este texto en una escuela o trabajo académico? Vea:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "¿Qué es la ley del coseno?"; Escuela Brasil. Disponible: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm. Consultado el 27 de junio de 2021.