LA Elipse es una figura plana clasificada como cónico, porque ella se puede obtener en la sección de un plan en un cono. Encontrar una figura plana con forma de elipse es bastante común en la vida cotidiana. Se ha estudiado ampliamente para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol, ya que las órbitas de estas estrellas son elipses.
LA geometría analítica es el área de las matemáticas que busca describir formas algebraicamente geométricas, incluyendo, la elipse se estudia en profundidad en geometría analítica, siendo posible describirlo a través de una ecuación que tiene en cuenta sus elementos. Los principales elementos de la elipse son:
eje mayor
eje menor
distancia focal
focos F1 y F2
Definimos la elipse como el conjunto de puntos donde la suma de la distancia de estos puntos al foco F1 y enfocar F2 siempre es constante.
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¿Qué es una elipse?
Conocemos como una elipse el figura plana formada por la sección entre el plano y el cono, de la siguiente manera:
Para construir la elipse, es necesito saber tu dos enfoques, F1 y F2, y también la longitud del eje mayor, que es la línea que conecta los extremos de la elipse, en la imagen de abajo, representada por A1 LA2.
La longitud del eje mayor es igual a 2a, por lo que la elipse es la curva formada por todos los puntos PNo donde la suma de la distancia desde el punto hasta el primer foco (dPNoF1) con la distancia desde el punto hasta el segundo foco (dPNoF2) es siempre constante e igual a 2a.
dP1F1 + dP1F2 = dP2F1 + P2F2 = dP3F1 + dP3F2 = dA1LA2 = 2do
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Elementos de elipse
Para comprender completamente la formación de la elipse, es necesario conocer cada uno de sus elementos. Son los focos, el centro, el eje mayor y el eje menor. A partir de ellos, es posible trazar relaciones importantes en la elipse.
El centro de la elipse está representado por el punto O.
Ya los puntos F1 y F2 representan los focos de elipse.
los puntos A1 y el2 son los extremos del eje horizontal de la elipse, y los puntos B1 y B2 son extremos de su eje vertical.
La distancia entre B1 y B2 es igual a 2b (longitud de la elipse en el eje menor).
La distancia entre A1 y el2 es igual a 2a (longitud de la elipse en el eje mayor).
La distancia focal entre F1 y F2 es igual a 2c.
Observación: Es importante darse cuenta de que la F1B1 tiene una longitud igual a la mitad del eje horizontal, es decir, dF1B1 = a. Así, también es posible percibir una importante relación pitagórica al analizar el triángulo A1transmisión exterior1. Tenga en cuenta que es un triángulo rectángulo. Por tanto, podemos aplicar la Teorema de pitágoras.
a² = b² + c²
Existe otra posibilidad para la elipse, que es cuando el eje más largo es el eje vertical. En este caso, los elementos siguen siendo los mismos.
En este caso también podemos aplicar el teorema de Pitágoras, obteniendo lo siguiente:
b² = a² + c²
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Ecuación de elipse
El estudio de la elipse analíticamente se realiza en el plano cartesiano. La geometría analítica busca describir, a través de ecuaciones, las figuras del geometria plana. Así, es posible describir la figura a través de la denominada ecuación de elipse.
Primero, haremos ejemplos de una elipse cuyos focos están contenidos en el eje x o en el eje y, es decir, el origen de la elipse coincide con el origen del plano cartesiano.
En este caso, hay dos posibilidades, cuando el eje mayor es el eje vertical y cuando el eje mayor es el eje horizontal:
Observación: Los focos siempre están contenidos en el eje más largo, por lo que si a> b, los focos están contenidos en el eje horizontal, y si b> a, están contenidos en el eje vertical.
El centro de la elipse no siempre está en el origen del plano cartesiano, lo que no impide el desarrollo y adaptación de la ecuación de elipse para este caso. Cuando la elipse se desplaza desde el origen O (x0, y0), su ecuación se puede describir mediante:
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Excentricidad de la elipse
Conocemos como excentricidad larazón entre la longitud cy la mitad de la longitud del eje más largo de la elipse. Suponiendo que el eje más largo es horizontal, la excentricidad se calcula mediante:
Si la elipse está en el eje vertical, la excentricidad se calculará mediante:
LA la excentricidad nos dice qué tan plana es la elipse, cuanto mayor sea el valor de excentricidad, más cerca de un círculo estará la elipse. Como el eje mayor siempre tiene una longitud mayor que la distancia focal, entonces c Como la elipse tiene forma redondeada, para calcular su área usamos la constante π y también la medida de la mitad de la longitud horizontal y la mitad de la longitud vertical, así, tenemos que: A = abπ A: longitud de la elipse Ejemplo: Calcula el área de una elipse, con los focos en el eje horizontal, cuyo eje más largo mide 50 cm y el más pequeño, 36 cm. Como el eje mayor es horizontal, los focos están contenidos en él. Por tanto, tenemos que: 2do = 50 a = 50/2 a = 25 Y en el eje vertical, tenemos que: 2b = 36 b = 36/2 b = 18 Entonces el área de la elipse viene dada por: A = abπ A = 25 · 18π A = 450π cm² Pregunta 1 - Al analizar la elipse a continuación, la alternativa que contiene su distancia focal es: A) 5 Resolución Alternativa E. La distancia focal es igual a 2c y, además, a = 8 y b = 6. Como los focos están contenidos en el eje x, entonces tenemos que: Dado que la distancia focal es igual a 2c, entonces 2c = 8√3. Pregunta 2 - (IFB) Considerando una elipse con centro en el origen, focos en uno de los ejes de coordenadas y pasando por los puntos (5, 0) y (0, 13), determine los focos de la elipse. a) (13, 0) y (-13, 0) Resolución Alternativa D Tenga en cuenta que pasa por el punto (0, 13), lo que indica que b = 13, y también que pasa por el punto (5.0) a = 5. Como b> a, tenemos que: b² = a² + c² Como b es más grande, entonces el foco está en el eje vertical, es decir (0, 12) y (0, -12). Por Raul Rodrigues de Oliveiraárea de elipse
a: la mitad de la longitud del eje horizontal
b: la mitad de la longitud del eje vertical
ejercicios resueltos
B) 4√3
C) 4
D) 16
E) 8√3
b) (0, 13) y (0, -13)
c) (12, 0) y (-12, 0)
d) (0, 12) y (0, -12)
e) (5, 0) y (-5, 0)
13² = 5² + c²
169 = 25 + c²
169 - 25 = c²
144 = c²
c = √144
c = 12
Profesor de matemáticas
