LA circunferencia es una figura geométrica plana formada por unión de puntos equidistantes, es decir, tienen la misma distancia desde un punto fijo llamado centro. El estudio de la circunferencia también está presente en el geometría analítica, en el que es posible deducir una ecuación que lo representa.
Aunque el circulo y circunferencia son figuras geométricas planas con algunos elementos en común, lo que suele dar lugar a dudas, estas figuras presentan diferencias importantes, especialmente en lo que respecta a la dimensionalidad.
Lea también: Distancia entre dos puntos: un concepto importante de geometría analítica
elementos del circulo
Tenga en cuenta la circunferencia:
El punto C se llama centro del circuloy tenga en cuenta que los puntos A y B le pertenecen. El segmento que une los extremos del círculo que pasa por el centro se llama diámetro. En la circunferencia anterior, entonces tenemos que el diámetro es el segmento AB.
Hacia divide el diámetro por la mitad, obtengamos el radio de la circunferencia, es decir, el
radio (r) de un círculo es el segmento que une el centro y el final. En este caso, el radio es el segmento CB. Podemos establecer una relación matemática entre estos dos elementos, ya que el diámetro es el doble del radio.d = 2 · r
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Ejemplo
Determina el radio de un círculo que tiene un diámetro de 40 cm.
Sabemos que el diámetro es el doble del radio, así:
longitud de la circunferencia
Considere un círculo que tiene un radio que mide r. O longitud o perímetro de la circunferencia viene dada por el producto de la Cpi constante (π) por el doble del radio.
Cuando calculamos la longitud o el perímetro de un círculo, estamos determinando el tamaño de la línea. verde en el dibujo anterior, y para hacer esto, simplemente reemplace el valor del radio en la fórmula que procede a figura.
Ejemplo
Determina la longitud de la circunferencia de radio de 5 cm.
El radio del círculo es igual a 5 cm, por lo que para determinar la longitud del círculo, debemos sustituir este valor en la fórmula.
C = 2πr
C = 2 (3,14) (5)
C = 6.24 · 5
C = 31,2 cm
Vea también: Construcción de polígonos inscritos
área de circunferencia
Considere un círculo de radio r. Para calcular su área, debemos multiplica el cuadrado del valor del radio por π.
Cuando calculamos el área del círculo, estamos determinando la medida de la superficie, es decir, toda la región dentro del círculo.
- Ejemplo
Determina el área de un círculo que tiene un radio igual a 4 cm.
Tenemos que el radio de la circunferencia es igual a 4 cm, por lo que podemos sustituir esta medida en la fórmula por el área. Vea:
A = π · r2
A = 3,14 · (4)2
A = 3,14 · 16
H = 50,24 cm2
Ecuación de circunferencia reducida
Sabemos que un círculo puede ser construido por colección de puntos que tienen la misma distancia desde un punto fijo llamado origen o centro. Entonces, considere un punto fijo en el plano cartesiano O (a, b). El conjunto de puntos, representados por P (x, y), que están a la misma distancia r de este punto fijo formará un círculo de radio r.
Tenga en cuenta que los puntos de la forma P (x, y) están todos a la misma distancia del punto O (a, b), es decir, la distancia entre los puntos O y P es igual al radio del círculo, así:
A ecuación reducida, tenga en cuenta que los números La y B son las coordenadas del centro del círculo y que r es la medida del radio.
- Ejemplo
Determina las coordenadas del centro y la medida del radio del círculo que tiene una ecuación:
a) (x - 2)2 + (y - 6)2 = 36
Comparando esta ecuación con la ecuación reducida, tenemos:
(X - La)2 + (y - B)2 = r2
(X - 2)2 + (y -6)2 = 36
Vea que a = 2, b = 6 y r2 = 36. La única ecuación a resolver es:
r2 = 36
r = 6
Por lo tanto, la coordenada del centro es: O (2, 6) y la longitud del radio es 6.
b) (x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
Del mismo modo, tenemos:
(X - La)2 + (y - B)2 = r2
(x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
a = 5
- b = 3
b = –3
Mientras que el valor del radio viene dado por:
r2 = 121
r = 11
c) x2 + y2 = 1
(X - La)2 + (y - B)2 = r2
X2 + y2 = 1
Tenga en cuenta que x2 = (x + 0)2 y y2 = (y + 0)2 . Entonces tenemos que:
(X - La)2 + (y - B)2 = r2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
Por lo tanto, la coordenada del centro es O (0, 0) y el radio es igual a 1.
También acceda a: ¿Cómo encontrar el centro de un círculo?
ecuación general del círculo
Para determinar la ecuación general del círculo, debemos desarrollar la ecuación reducida su. Por lo tanto, considere un círculo que tiene un centro en las coordenadas O (a, b) y un radio r.
Inicialmente, desarrollaremos los términos al cuadrado usando el productos notables; luego pasaremos todos los números al primer miembro; y, finalmente, uniremos los términos con el mismo coeficiente literal, es decir, aquellos con las mismas letras. Vea:
Ejemplo
Determina las coordenadas del centro y el radio medio del círculo que tiene una ecuación:
a) x2 + y2 - 4x - 6y + 4 + 9 - 49 = 0
Para determinar el radio y las coordenadas del círculo que tiene esta ecuación, debemos compararla con la ecuación general. Vea:
X2 + y2 – 2doX - 2by + La2 + B2 –r2 = 0
X2 + y2 – 4X - 6y + 4 + 9 – 49 = 0
De las comparaciones en verde, tenemos que:
2do = 4
a = 2
o
La2 = 4
a = 2
De las comparaciones en rojo, tenemos que:
2b = 6
b = 3
o
B2 = 9
b = 3
Por tanto, podemos decir que el centro tiene la coordenada O (2, 3). Ahora, comparando el valor de r, tenemos:
r2 = 49
r = 7
Por tanto, el radio del círculo tiene una longitud igual a 7.
b) x2 + y2 - 10x + 14y + 10 = 0
De manera similar, comparemos las ecuaciones:
X2 + y2 – 2doX - 2by + La2 + b2 - r2 = 0
X2 + y2 –10X + 14y + 10 = 0
2do = 10
a = 5
Determinando el valor de b:
–2b = 14
b = - 7
Note ahora que:
La2 + b2 - r2 = 10
Como conocemos los valores de ayb, podemos sustituirlos en la fórmula. Vea:
La2 + b2 - r2 = 10
52 + (–7)2 - r2 = 10
25 + 49 - r2 = 10
74 - r2 = 10
- r2 = 10 – 74
(–1) - r2 = –64 (–1)
r2 = 64
r = 8
Por lo tanto, las coordenadas del centro son O (5, –7) y el radio tiene una longitud igual a 8.
Diferencias entre circunferencia y círculo.
La diferencia entre un círculo y un círculo se refiere a la número de dimensiones de cada elemento. Mientras que el círculo tiene una dimensión, el círculo tiene dos.
Un círculo es una región en el plano formada por puntos todos equidistantes de un punto fijo llamado origen. El círculo está formado por todas las regiones dentro del círculo. Vea la diferencia en imágenes:
Vea también:longitud de la circunferencia y área del círculo
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Una circunferencia tiene un perímetro igual a 628 cm. Determine el diámetro de este círculo (adopte π = 3.14).
Resolución
Dado que el perímetro es igual a 628 cm, podemos sustituir este valor en la expresión de la longitud de la circunferencia.
Pregunta 2 - Dos círculos son concéntricos si tienen el mismo centro. Sabiendo esto, determine el área de la figura en blanco.
Resolución
Tenga en cuenta que para determinar el área de la región en blanco, debemos determinar el área del círculo más grande y luego la del círculo más pequeño en azul. También tenga en cuenta que si eliminamos el círculo azul, solo queda la región que queremos, por lo que debemos restar esas áreas. Vea:
LAMÁS GRANDE = r2
LAMÁS GRANDE = (3,14) · (9)2
LAMÁS GRANDE = (3,14) · 81
LAMÁS GRANDE = 254,34 cm2
Calculemos ahora el área del círculo azul:
LAMENOR = r2
LAMENOR = (3,14) · (5)2
LAMENOR = (3,14) · 25
LAMENOR = 78,5 cm2
Por tanto, el área en blanco viene dada por la diferencia entre el área más grande y el área más pequeña.
LABLANCO = 254,34 – 78,5
LABLANCO = 175,84 cm2
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
Con respecto a la definición básica de círculos y sus propiedades, marque la alternativa correcta.
a) Un círculo es una región plana delimitada por un círculo.
b) Un círculo es un conjunto de puntos cuya distancia al centro es siempre menor que la constante r.
c) Un círculo tiene solo dos radios y la suma de estos dos elementos es igual al diámetro.
d) Un círculo con centro O y radio r es un conjunto de todos los puntos cuya distancia a O es igual a r.
e) Círculo es la región del plano limitada por un diámetro.
a) Dado un punto A, fuera de la circunferencia, el segmento OA es menor o igual que r.
b) Sabiendo que el segmento OA tiene una longitud menor que r, se puede decir que A pertenece al círculo limitado por esta circunferencia.
c) Sabiendo que el segmento OA tiene una longitud mayor que r, se puede afirmar que A pertenece al círculo.
d) El diámetro del círculo delimitado por esta circunferencia es igual a 3r.
e) Para que el punto A pertenezca al círculo, basta con que la distancia de A a O sea menor que r.
