Los conceptos de múltiplos y divisores de un número natural se extienden al conjunto de números enteros. Al tratar el tema de los múltiplos y divisores, nos referimos a conjuntos numéricos que satisfacen algunas condiciones. Los múltiplos se encuentran después de la multiplicación por números enteros y los divisores son números divisibles por cierto número.
Debido a esto, encontraremos subconjuntos de enteros, ya que los elementos de los conjuntos de múltiplos y divisores son elementos del conjunto de enteros. Para comprender qué son los números primos, es necesario comprender el concepto de divisores.
múltiplos de un número
ser La y B dos enteros conocidos, el número La es múltiplo de B si y solo si hay un entero k tal que La = B · K. Por lo tanto, la conjunto de múltiplos en Lase obtiene multiplicandoLapara todos los números enteros, los resultados de estos multiplicaciones son los múltiplos de La.
Por ejemplo, enumeremos los primeros 12 múltiplos de 2. Para ello tenemos que multiplicar el número 2 por los primeros 12 números enteros, así:
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Por tanto, los múltiplos de 2 son:
M (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Tenga en cuenta que solo enumeramos los primeros 12 números, pero podríamos haber enumerado tantos como sean necesarios, ya que la lista de múltiplos se obtiene multiplicando un número por todos los números enteros. Así, el conjunto de múltiplos es infinito.
Para comprobar si un número es múltiplo de otro, debemos encontrar un número entero para que la multiplicación entre ellos dé como resultado el primer número. Vea los ejemplos:
→ El número 49 es múltiplo de 7, porque hay un número entero que, multiplicado por 7, da como resultado 49.
49 = 7 · 7
→ El número 324 es múltiplo de 3, ya que hay un número entero que, multiplicado por 3, da como resultado 324.
324 = 3 · 108
→ El número 523 No es un múltiplo de 2 porque no hay entero que, multiplicado por 2, da como resultado 523.
523 = 2 · ?
Lea también: Propiedades de la multiplicación que facilitan el cálculo mental.
Múltiplos de 4
Como hemos visto, para determinar los múltiplos del número 4, debemos multiplicar el número 4 por números enteros. Así:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Por tanto, los múltiplos de 4 son:
M (4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Múltiplos de 5
De manera análoga, tenemos múltiplos de 5.
5 · 1 = 5
5 · 2 = 5
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25
5 · 6 = 30
5 · 7 = 35
...
Por tanto, los múltiplos de 5 son: M (5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,…}
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divisores de un número
ser La y B dos enteros conocidos, digamos B es divisor de La si el numero B es múltiplo de La, eso es el división entre B y La es exacto (debe dejar descansar 0).
Vea algunos ejemplos:
→ 22 es un múltiplo de 2, entonces 2 es un divisor de 22.
→ 63 es múltiplo de 3, entonces 3 es divisor de 63.
→ 121 no es múltiplo de 10, por lo que 10 no es divisor de 121.
Para enumerar los divisores de un número, debemos buscar los números que lo dividen. Vea:
- Enumere los divisores de 2, 3 y 20.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Tenga en cuenta que los números en la lista de divisores siempre son divisibles por el número en cuestión y que el valor más alto que aparece en esta lista es el número en sí., ya que ningún número mayor que él será divisible por él.
Por ejemplo, en divisores de 30, el valor más grande en esta lista es el 30 mismo, ya que ningún número mayor que 30 será divisible por él. Así:
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Sepa mas: Datos curiosos sobre la división de números naturales
Propiedad de múltiplos y divisores
Estas propiedades están relacionadas con división entre dos enteros. Tenga en cuenta que cuando un número entero es múltiplo de otro, también es divisible por ese otro número.
Considera el algoritmo de división para que podamos comprender mejor las propiedades.
N = d · q + r, donde qyr son números enteros.
recuérdalo norte se denomina de dividendo;d, para divisor;q, por cociente; y r, por cierto.
→ Propiedad 1: La diferencia entre el dividendo y el resto (N - r) es un múltiplo del divisor, o el número d es un divisor de (N - r).
→ Propiedad 2: (N - r + d) es un múltiplo de d, es decir, el número d es un divisor de (N - r + d).
Vea el ejemplo:
- Al realizar la división de 525 entre 8, obtenemos el cociente q = 65 y el resto r = 5. Así, tenemos el dividendo N = 525 y el divisor d = 8. Vea que las propiedades se satisfacen porque (525 - 5 + 8) = 528 es divisible por 8 y:
528 = 8 · 66
números primos
Tú números primos son los que tienen como divisor en su lista solo el número 1 y el número en sí. Para comprobar si un número es primo o no, uno de los métodos más triviales es enumerar los divisores de ese número. Si aparecen números superiores a 1 y el número en cuestión, no es primo.
→ Compruebe cuáles son los números primos entre 2 y 20. Para eso, enumeremos los divisores de todos estos números entre 2 y 20.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (4) = {1, 2, 4}
D (5) = {1, 5}
D (6) = {1, 2, 3, 6}
D (7) = {1, 7}
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (9) = {1, 3, 9}
D (10) = {1, 2, 5, 10}
D (11) = {1, 11}
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D (13) = {1, 13}
D (14) = {1, 2, 7, 14}
D (15) = {1, 3, 5, 15}
D (16) = {1, 2, 4, 16}
D (17) = {1, 17}
D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D (19) = {1, 19}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Entonces, los números primos entre 2 y 20 son:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19}
Tenga en cuenta que el conjunto es de algunos de los primeros números primos, esta lista continúa. Tenga en cuenta que cuanto mayor sea el número, más difícil será saber si es primo o no.
Lea mas: Números irracionales: aquellos que no se pueden representar en fracciones.
Ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (UMC-SP) El número de elementos en el conjunto de divisores primos de 60 es:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 10
Solución
Alternativa A
Primero enumeraremos los divisores de 60 y luego veremos cuáles son primos.
D (60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
De estos números, tenemos que son primos:
{2, 3, 5}
Por lo tanto, el número de divisores primos de 60 es 3.
Pregunta 2 - Escribir todos los números naturales menores que 100 y múltiplos de 15.
Solución
Sabemos que los múltiplos de 15 son el resultado de multiplicar el número 15 por todos los números enteros. Dado que el ejercicio pide escribir los números naturales menores que 100 y que son múltiplos de 15, debemos multiplicar 15 por todos los números mayores que cero, hasta que encontremos el mayor múltiplo antes de 100, así:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
Por lo tanto, los números naturales menores que 100 y los múltiplos de 15 son:
{15, 30, 45, 60, 75, 90}
Pregunta 3 - ¿Cuál es el mayor múltiplo de 5 entre 100 y 1001?
Solución
Para determinar el mayor múltiplo de 5 entre 100 y 1001, simplemente identifique el primer múltiplo de 5 al revés.
1001 no es múltiplo de 5, ya que no hay un número entero que, multiplicado por 5, dé como resultado 1001.
1000 es un múltiplo de 5, ya que 1000 = 5 · 200.
Por lo tanto, el mayor múltiplo de 5, entre 100 y 1001, es 1000.
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
