Pirámides son figuras geométricas que aparecen con frecuencia, especialmente en arquitectura. las pirámides son Sólidos geométricos construido en el espacio basado en un polígono en el plano y un punto fuera de ese plano. Al ser una figura tridimensional, es posible calcular su volumen, además, podemos planificarla y así encontrar su área.
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¿Qué es la pirámide?
Considere un polígono convexo contenido en un plano y un punto H que no pertenece al plano. Definimos el pirámide como la unión de todos los vértices del polígono convexo en el punto H.
Elementos de una pirámide
Considere la pirámide de abajo.
• Base de la pirámide: polígono ABCDEF.
• Ápice de la pirámide: punto H.
• Caras laterales: AHB, BHC, CHD, DHE, EHF y FHA, que son los triangulos formado por la unión del vértice de la pirámide con los vértices del polígono.
• Bordes base: AB, BC, CD, DE, EF y FA, que son los lados de la base.
• Bordes laterales: AH, BH, CH, DH, EH y FH, que son los segmentos de las caras laterales.
• Altura de la pirámide: h, que es la distancia entre el vértice de la pirámide y la base.
Establezcamos las notaciones para algunos elementos:
• A área de la base será denotado por AB.
• El área de una cara lateral estará representado por AF.
• La suma de las áreas de la cara se llama área lateral, y esto se denota por AL.
Por lo tanto, el área total de la pirámide está dada por la suma del área de la base (AB) con el área lateral (AL) y se denota por AT, o sea:
LAT = AB + AL
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Tipos de pirámides
De la misma manera que nombramos el prismas según el polígono base, también nombramos las pirámides siguiendo esta idea. Por ejemplo, si una pirámide tiene una triángulo, ella es llamada pirámide de base triangular, ahora, si una pirámide se basa en un cuadrilátero, se llama pirámide de base cuadrangular, y así sucesivamente.
Las pirámides también se dividen en dos grupos: rectas y oblicuas. A pirámidesderecho se llaman así cuando la proyección de la el vértice coincide con el centro de la base, de lo contrario se dice que son oblicuos. Vea los ejemplos a continuación:
Si en una pirámide recta la base es un polígono regular, entonces la pirámide será regular. En este tipo, la distancia desde el vértice hasta el centro de la base es la altura de la pirámide.
El segmento que une el vértice de la pirámide con el punto medio de un borde de la base se llama apotema de la pirámide, en este caso GI. El segmento que une el centro de la base al punto medio de un borde de la base se llama apotema de la base, en este caso HI.
Tenga en cuenta los triángulos GHI y GHF y tenga en cuenta que son triángulos rectángulos, por lo tanto, en el Teorema de pitágoras es válido. Así:
(SOLDADO AMERICANO)2 = (GH)2 + (HI)2
(GF)2 = (GH)2 + (HF)2
Área de la pirámide
LA área de la pirámide viene dada por la suma de las áreas laterales y el área base, es decir:
LAT = AB + AL
La inexistencia de una fórmula específica se debe a que las pirámides tienen bases diferentes. En la expresión anterior, observe que el área total AT depende del valor del área base. Vea algunos ejemplos.
• Ejemplo
Calcula el área total de una pirámide recta, cuya base es un cuadrado con un lado de 10 my la altura de una cara lateral es igual a 13 m.
Solución
Inicialmente dibujaremos la pirámide de acuerdo con los datos del ejercicio.
Tenga en cuenta que podemos calcular el área de la cara con los datos dados usando la fórmula del área del triángulo.
Como tenemos cuatro caras, el área lateral es igual a 65 · 4 = 260 m2.
Ahora, debemos calcular el área de la base que es un cuadrado, entonces:
Por lo tanto, el área de la pirámide es la suma del área lateral y el área de la base.
LAT = AB + AL
LAT = 100+ 260
LAT = 360 m2
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Volumen de la pirámide
Considere una pirámide de altura h.
El volumen de la pirámide está dado por la tercera parte del producto del área de la base (AB) y altura (h):
• Ejemplo
(Enem) Artur y Bernardo se fueron de campamento y cada uno se llevó una carpa. Ambos tienen forma de pirámide con una base cuadrada, con bordes laterales congruentes. La carpa de Bernardo es un 10% más alta en altura y bordes laterales que la de Arthur. Así, la relación entre los volúmenes de las tiendas de Bernardo y Arthur, en ese orden, es:
La) 1,1
B) 1,21
C) 1,331
D) 1,4641
y) 1,5
Solución
Inicialmente, calcularemos el volumen de la tienda de Arthur, denotado aquí por VLA. Dado que la base de la pirámide es un cuadrado, su área es la medida del lado al cuadrado, representémosla por L2.
Ahora determinemos el volumen de la carpa de Bernardo, representado por VB. Primero, tenga en cuenta que la altura y los bordes son un 10% más altos en comparación con la carpa de Arthur, por lo que tenemos que:
HB = h + 10% de h
HB = h + 0,1 · h
HB = 1,1 · h
Lo mismo ocurre con el área de la base:
LAB = (1,1)2 · L2
Por lo tanto, el área de la carpa de Bernardo es:
Como el objetivo del ejercicio es encontrar la relación entre los volúmenes de las tiendas de Bernardo y Arthur, tenemos que:
Date cuenta de que podemos "cortar" la fracción L2 · H sobre 3, ya que representa el mismo número.
Alternativa C
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
